二维平面中二维向量的叉乘得到的向量，x、y方向上的分量必定为0

二维平面中二维向量的叉乘得到的向量，x、y方向上的分量必定为0，
所以可以用z的值判断一个向量在另一个向量的左侧还是右侧。
推导（其实这个是二维上的定义，先用二维的推出来的三维，我用三维反过来理解二维。。）：
由于z1 = z2 = 0，那么 axb = k(x1y2 - y1x2)
只存在z轴上的分量。

//没用的代码增加了
#define _VecTypeName double
class Solution {public:
// -------手写通用矩阵运算库----------// 点乘template <typename T>T dot(vector<T>& vec2_1 ,vector<T>& vec2_2){return vec2_1[0] * vec2_2[0] + vec2_1[1] * vec2_2[1];}// 叉乘，这里只要它z轴上的分量template <typename T>T cross(vector<T>& vec2_1 ,vector<T>& vec2_2){return vec2_1[0] * vec2_2[1] - vec2_1[1] * vec2_2[0];}// 归一化void normalize(vector<_VecTypeName>& vec2){if (vec2[0] == 0 || vec2[1] == 0)return;_VecTypeName sqx = vec2[0] * vec2[0];_VecTypeName sqy = vec2[1] * vec2[1];//cout << vec2[0] << " *in* " << vec2[1];vec2[0] = sqrt(sqx / (sqx + sqy)) * (vec2[0] / abs(vec2[0]));vec2[1] = sqrt(sqy / (sqx + sqy)) * (vec2[1] / abs(vec2[1]));//cout << vec2[0] << " *out* " << vec2[1];}// 构造 point1 指向 point2 的二维单位向量template <typename T>void makeVec2(vector<T>& vec2, vector<int>& point1, vector<int>& point2){vec2[0] = T(point2[0] - point1[0]);vec2[1] = T(point2[1] - point1[1]);//normalize<T>(vec2);}// 向量叠加void addVec(vector<_VecTypeName>& vec2,vector<_VecTypeName>& vec2_1 ,vector<_VecTypeName>& vec2_2){vec2[0] = vec2_1[0] + vec2_2[0];vec2[1] = vec2_1[1] + vec2_2[1];}// 获取xmin的点void getXMinPoint(vector<int>& point,vector<vector<int>>& trees){int xmin = INT_MAX;for (unsigned int i = 0; i < trees.size(); ++i){int x = trees[i][0];if (xmin > x){xmin = x;point[0] = trees[i][0];point[1] = trees[i][1];}}}// 获取以x+轴为方向的向量template <typename T>void getPolarCoordinates(vector<T>& vec2){vec2[0] = 1;vec2[1] = 0;}// 判断两个位置或向量template <typename T>bool equalVec2(T& point1, T& point2){return point1[0] == point2[0] and point1[1] == point2[1];}// template <typename T>int setLevelFromDotAndCross(T& dotdata, T& crossdata){int leveldata = 0;if (crossdata < 0)leveldata = 5;else if (crossdata == 0 && dotdata > 0)leveldata = 4;else if (crossdata > 0)leveldata = 3;else if (crossdata == 0 && dotdata <= 0)leveldata = 2;return leveldata;}// 比较逆时针度数template <typename T>bool compareDotAndCross(T& dotdata1, T& crossdata1, T& dotdata2, T& crossdata2, T& ori_dotdata1, T& ori_dotdata2){/* 在逆时针上判断，cross < 0 的最大 (内部比较 点积越小逆时针角度越大)，其次是 cross == 0 && dotdata > 0 的，再然后是 cross < 0 的 (内部比较 点积越大逆时针角度越大)，再然后是 cross == 0 && dotdata <= 0 的*/int leveldata1 = setLevelFromDotAndCross<T>(dotdata1,crossdata1);int leveldata2 = setLevelFromDotAndCross<T>(dotdata2,crossdata2);// 叉积异号 直接得出结果if (leveldata1 != leveldata2)return leveldata1 > leveldata2;// 叉积同号 y-轴方向 点积越小逆时针角度越大if (leveldata1 == 5)return dotdata1 < dotdata2;// 同向要距离近的if (leveldata1 == 4)return ori_dotdata1 < ori_dotdata2;// 反向要距离近的if (leveldata1 == 2)return ori_dotdata1 > ori_dotdata2;// 叉积同号 y+轴方向 点积越小逆时针角度越小return dotdata1 > dotdata2;}// -------手写通用矩阵运算库----------// 寻找凸多边形 可以肯定 xmin xmax ymin ymax的点 在凸包上// 那么先用Jarvis算法，取xminvector<vector<int>> outerTrees(vector<vector<int>>& trees) {// 至少有三个点才能构成两个向量if (trees.size() <= 2) return trees;vector<vector<int>> cp_tree;for (unsigned int i = 0; i < trees.size(); ++i){vector<int> cp_data(2,0);cp_data[0] = trees[i][0];cp_data[1] = trees[i][1];cp_tree.push_back(cp_data);}vector<vector<int>> res;// 最开始的法向量，[1,0]，之后每得到一个点法向量变化到上一个向量vector<_VecTypeName> axis_x(2,0);getPolarCoordinates<_VecTypeName>(axis_x);vector<int> point(2,0);getXMinPoint(point,trees);res.push_back(point);while(!(res.size() > 1 and equalVec2<vector<int>>(*(res.end() - 1),*(res.begin())))){// 最弱情况指向贴着x-轴的左上角角度_VecTypeName crossdata1 = 1;_VecTypeName dotdata1 = -999;// ori用来记录原始长度，算最近的点_VecTypeName ori_dotdata1 = 0;vector<int> pi(2,0);int index = -1;for (unsigned int i = 0; i < trees.size(); ++i){// 因为本算法每次找到最优解没有回溯，所以用完的直接扔掉不再参与运算。if (equalVec2<vector<int>>(*(res.end() - 1),trees[i])){continue;}vector<_VecTypeName> vecp(2,0);makeVec2<_VecTypeName>(vecp,*(res.end() - 1),trees[i]);_VecTypeName ori_dotdata2 = dot<_VecTypeName>(axis_x,vecp);normalize(vecp);_VecTypeName crossdata2 = cross<_VecTypeName>(axis_x,vecp);_VecTypeName dotdata2 = dot<_VecTypeName>(axis_x,vecp);if (!compareDotAndCross<_VecTypeName>(dotdata1,crossdata1,dotdata2,crossdata2,ori_dotdata1,ori_dotdata2)){// if (trees[i][0] == 4 and trees[i][1] == 0 and res.size() == 4)// {//     cout << "start" << endl << dotdata1 << " " << crossdata1 << endl << dotdata2 << " " << crossdata2 << endl << "end" << endl;//     cout << "curpos [ " << axis_x[0] << axis_x[1] << " ] thispos [ " << vecp[0] << vecp[1] << " ]" << endl;// }// else{//     cout << "lastpos [ " << vecp[0] << vecp[1] << " ]" << endl;// }crossdata1 = crossdata2;dotdata1 = dotdata2;ori_dotdata1 = ori_dotdata2;pi[0] = trees[i][0];pi[1] = trees[i][1];index = i;}}if (index >= 0){makeVec2<_VecTypeName>(axis_x,*(res.end() - 1),pi);normalize(axis_x);res.push_back(pi);cout << index << " " << trees.size() << endl;trees.erase(trees.begin() + index);}else{return cp_tree;}}res.erase(res.end()-1);return res;}
};/*
取[1,1] [m,n]遍历其他顶点，
先用叉乘确定法向量的方向，决定在左边还是在右边，
再用点积确定夹角，重合是1，逆向是-1，负数角度大，正数角度小
*/

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