向量与直线，梯度与法向量,切向量

ε≡٩(๑>₃<)۶ 一心向学
今天真的是想了很久，才弄明白梯度与法向量的关系
有的博客直接说梯度就是法向量，我觉得这是不对或者说不严谨的
如f(x,y)=x−yf(x,y)=x-yf(x,y)=x−y,对这个函数求梯度，得到(1,−1)(1,-1)(1,−1),把f(x,y)f(x,y)f(x,y)写成zzz,z=x−yz=x-yz=x−y,这是在一个三维空间上的二维曲面，求得的梯度是在xoyxoyxoy平面上的一个梯度方向，这个方向指向的位置是zzz上升最快的方向
而法向量对应的是x−y=0x-y=0x−y=0,这其实是一个一维的直线(z=x−yz=x-yz=x−y,这是三维空间的二维曲线)，求偏导也是(1,−1)(1,-1)(1,−1)，这个是这条直线的法向量
这么看二者的确是相同的，但是梯度是在三维空间的二维曲线求得的一维直线，而法向量是在二维空间的一维直线求出的一维直线（对于本例子，不知道这么说是否严谨）
为什么梯度会等于法向量，想象爬山，你在最陡峭的方向走，你走的这个方向向量是相切于山包的，这个方向向量的投影就是梯度，同时方向向量的投影与山包与山脚相交的曲线是相切的（强烈建议看知乎作者tetradecane的文章，还有图，我觉得讲的非常好，没找到链接）
直线的方向向量与直线方程-点向式
lll的方向向量s=(m,n,t)s=(m,n,t)s=(m,n,t),一点M0=(x0,y0,z0)M0=(x0,y0,z0)M0=(x0,y0,z0),直线l,对任意一点M=(x,y,z)M=(x,y,z)M=(x,y,z)属于lll,有，MM0//sMM0//sMM0//s,即(x−x0)/m=(y−y0)/n=(z−z0)/t,即(x-x0)/m=(y-y0)/n=(z-z0)/t,即(x−x0)/m=(y−y0)/n=(z−z0)/t
切向量
x−y=0x-y=0x−y=0的切向量就是对x求导，1−dy/dx=01-dy/dx=01−dy/dx=0,dy=dxdy=dxdy=dx,所以在，某一点的切向量是(dx0,dx0)(dx0,dx0)(dx0,dx0)

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