考研数学笔记（更新中）

导数和积分分别是处理均匀量的商和积在处理非均匀量中的发展

文章目录

一、函数、极限、连续
- （一）函数
- - 1.题型
- （二）极限
- - 1.知识点
  - - (1)概念
    - (2)性质
    - (3)存在准则
    - (4)无穷小
    - (5)无穷大
  - 2.题型
  - - 常用的求极限方法（8种）
- （3）连续
二、导数与微分
三、微分中值定理
四、不定积分
五、定积分
六、微分方程
七、多元积分
八、二重积分
九、无穷级数
十、空间解析几何
十一、三重积分及线面积分

一、函数、极限、连续

（一）函数

1.题型

函数性质

单调性、奇偶性、周期性、有界性

复合函数

（二）极限

1.知识点

(1)概念

概念：邻域

要分左右求极限的情况

分界点两侧函数表达式不同
$e^{\infty} \text { 型极限（如 } \lim _{x \rightarrow 0} e^{\frac{1}{x}}, \lim _{x \rightarrow \infty} e^{x}, \lim _{x \rightarrow \infty} e^{-x} \text { ) }
$
$\arctan \infty \text { 型极限（如 } \lim _{x \rightarrow 0} \arctan \frac{1}{x}, \lim _{x \rightarrow \infty} \arctan x \text { ) }
$

e的定义：
lim⁡x→∞(1+1x)x=e\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=elimx→∞(1+x1)x=e

lim⁡x→0(1+x)1x=e\lim _{x \rightarrow 0}\left(1+x\right)^\frac{1} {x}=elimx→0(1+x)x1=e

(2)性质

有界性
收敛⇒有界收敛\Rightarrow有界收敛⇒有界（反过来不成立）
极限存在⇒局部有界极限存在\Rightarrow局部有界极限存在⇒局部有界
保号性
（1）如果 A>0A>0A>0 (或 A<0A<0A<0 ), 则存在 N>0N>0N>0, 当 n>Nn>Nn>N 时, 则xn>0x_{n}>0xn>0 (或 xn<0x_{n}<0xn<0 );

（2）如果存在 N>0N>0N>0, 当 n>Nn>Nn>N 时, xn≥0x_{n} \geq 0xn≥0 (或 xn≤0x_{n} \leq 0xn≤0 )，
则 A≥0A \geq 0A≥0 (或 A≤0A \leq 0A≤0 ),
极限值与无穷小的关系

lim⁡f(x)=A⇔f(x)=A+α(x)\lim f(x)=A \Leftrightarrow f(x)=A+\alpha(x) \quadlimf(x)=A⇔f(x)=A+α(x)其中lim⁡α(x)=0\quad \lim \alpha(x)=0limα(x)=0.

(3)存在准则

夹逼准则
若存在 NNN, 当 n>Nn>Nn>N 时, xn≤yn≤znx_{n} \leq y_{n} \leq z_{n}xn≤yn≤zn, 且 lim⁡n→∞xn=lim⁡n→∞zn=a\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} z_{n}=alimn→∞xn=limn→∞zn=a, 则 lim⁡n→∞yn=a\lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=alimn→∞yn=a.
单调有界准则
单调有界数列必有极限：
1. 单调增、有上界的数列必有极限
2. 单调减、有下界的数列必有极限

(4)无穷小

无穷小量

高阶、低阶、同阶、等价无穷小、无穷小的阶

等价无穷小的替换

常见等价无穷小

(5)无穷大

当 x→+∞x \rightarrow+\inftyx→+∞ 时
ln⁡αx<<xβ<<ax{\ln ^{\alpha} x<<x^{\beta}<<a^{x}}lnαx<<xβ<<ax

其中 $\alpha>0, \beta>0, a>1 $

当 n→∞\boldsymbol{n} \rightarrow \inftyn→∞ 时
ln⁡αn<<nβ<<an<<n!<<nn{\ln ^{\alpha} \boldsymbol{n}<<\boldsymbol{n}^{\beta}<<\boldsymbol{a}^{n}<<\boldsymbol{n} !<<\boldsymbol{n}^{n}}lnαn<<nβ<<an<<n!<<nn

其中$\alpha>\mathbf{0}, \boldsymbol{\beta}>\mathbf{0}, \boldsymbol{a}>\mathbf{1} $

无穷大量与无界变量的关系

无穷大量：某一项后所有值都很大

无界变量：某一项的值无穷大

无穷大量⇒\Rightarrow⇒无界变量

2.题型

极限的概念性质及存在准则（选择题）
求极限
无穷小量阶的比较

数列

常用的求极限方法（8种）

利用基本极限求极限

lim⁡x→0sin⁡xx=1;lim⁡x→0(1+x)1x=e;lim⁡x→∞(1+1x)x=e\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1 ; \quad \lim _{x \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x} }=e ; \quad \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=elimx→0xsinx=1;limx→0(1+x)x1=e;limx→∞(1+x1)x=e

lim⁡x→0ax−1x=ln⁡a;lim⁡n→∞nn=1;lim⁡n→∞an=1(a>0)\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^{x}-1}{x}=\ln a ; \quad \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1 ; \quad \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a}=1(a>0)limx→0xax−1=lna;limn→∞nn=1;limn→∞na=1(a>0)

lim⁡x→∞anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0bmxm+bm−1xm−1+⋯+b1x+b0={anbm,n=m0,n<m∞,n>m\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}}{b_{m} x^{m}+b_{m-1} x^{m-1}+\cdots+b_{1} x+b_{0}}=\left\{\begin{array}{cc}\frac{a_{n}}{b_{m}}, & n=m \\ 0, & n<m \\ \infty, & n>m\end{array}\right.limx→∞bmxm+bm−1xm−1+⋯+b1x+b0anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0=⎩⎨⎧bman,0,∞,n=mn<mn>m

当x→0x\rightarrow0x→0时，比较次数最低的项的系数

KaTeX parse error: Expected group after '\begin{array}' at end of input: …d{array}\right.

lim⁡n→∞enx={0,x<0+∞,x>01,x=0\lim _{n\rightarrow \infty} e^{n x}=\left\{\begin{array}{c}0, & x<0 \\ +\infty, &x>0 \\1, &x=0\end{array}\right.limn→∞enx=⎩⎨⎧0,+∞,1,x<0x>0x=0

"1"的无穷型极限常见结论

若 lim⁡α(x)=0,lim⁡β(x)=∞\lim \alpha(x)=0, \lim \beta(x)=\inftylimα(x)=0,limβ(x)=∞, 且 lim⁡α(x)β(x)=A\lim \alpha(x) \beta(x)=Alimα(x)β(x)=A
则 lim⁡(1+α(x))β(x)=eA\lim (1+\alpha(x))^{\beta(x)}=e^{A}lim(1+α(x))β(x)=eA

1)写标准形式原式 =lim⁡[1+α(x)]β(x);=\lim [1+\alpha(x)]^{\beta(x)};=lim[1+α(x)]β(x);
2)求极限 lim⁡α(x)β(x)=A;\lim \alpha(x) \beta(x)=A ;limα(x)β(x)=A;
3)写结果原式 =eA=e^{A}=eA.
利用等价无穷小代换求极限

常见等价无穷小：x→0x\rightarrow0x→0时

x∼sin⁡x∼tan⁡x∼arcsin⁡x∼arctan⁡x∼ln⁡(1+x)∼ex−1x \sim \sin x \sim \tan x \sim \arcsin x \sim \arctan x \sim \ln (1+x) \sim e^{x}-1x∼sinx∼tanx∼arcsinx∼arctanx∼ln(1+x)∼ex−1

ax−1∼xln⁡a,(1+x)α−1∼αx,1−cos⁡x∼12x2a^{x}-1 \sim x \ln a, \quad(1+x)^{\alpha}-1 \sim \alpha x, \quad 1-\cos x \sim \frac{1}{2} x^{2}ax−1∼xlna,(1+x)α−1∼αx,1−cosx∼21x2

x−sin⁡x∼16x3x-\sin x \sim \frac{1}{6} x^{3}x−sinx∼61x3 tan⁡x−x∼13x3\tan x-x \sim \frac{1}{3} x^{3}tanx−x∼31x3 x−ln⁡(1+x)∼12x2x-\ln (1+x) \sim \frac{1}{2} x^{2}x−ln(1+x)∼21x2

arcsin⁡x−x∼16x3\arcsin x-x \sim \frac{1}{6} x^{3}arcsinx−x∼61x3 x−arctan⁡x∼13x3x-\arctan x \sim \frac{1}{3} x^{3}x−arctanx∼31x3
利用有理运算法则求极限

极限的加减乘除都适用

极限、连续、导数、级数相同
利用洛必达法则求极限

00\frac{0}{0}00或∞∞\frac{\infin}{\infin}∞∞能用
利用泰勒公式求极限定理

(泰勒公式) 设 f(x)f(x)f(x) 在 x=x0x=x_{0}x=x0 处 nnn 阶可导, 则（局部泰勒）
f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+o(x−x0)nf(x)=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\cdots+\frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}+o\left(x-x_{0}\right)^{n} f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+⋯+n!f(n)(x0)(x−x0)n+o(x−x0)n
常用泰勒公式

ex=1+x+x22!+⋯+xnn!+o(xn)e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2 !}+\cdots+\frac{x^{n}}{n !}+o\left(x^{n}\right)ex=1+x+2!x2+⋯+n!xn+o(xn)

sin⁡x=x−x33!+⋯+(−1)n−1x2n−1(2n−1)!+o(x2n)\sin x=x-\frac{x^{3}}{3 !}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{x^{2 n-1}}{(2 n-1) !}+o\left(x^{2 n}\right)sinx=x−3!x3+⋯+(−1)n−1(2n−1)!x2n−1+o(x2n)

cos⁡x=1−x22!+⋯+(−1)nx2n(2n)!+o(x2n)\cos x=1-\frac{x^{2}}{2 !}+\cdots+(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n) !}+o\left(x^{2 n}\right)cosx=1−2!x2+⋯+(−1)n(2n)!x2n+o(x2n)

ln⁡(1+x)=x−x22+⋯+(−1)n−1xnn+o(xn)\ln (1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{x^{n}}{n}+o\left(x^{n}\right)ln(1+x)=x−2x2+⋯+(−1)n−1nxn+o(xn)

(1+x)α=1+αx+α(α−1)2!x2+⋯+α(α−1)⋯(α−n+1)n!xn+o(xn)(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2 !} x^{2}+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-n+1)}{n !} x^{n}+o\left(x^{n}\right)(1+x)α=1+αx+2!α(α−1)x2+⋯+n!α(α−1)⋯(α−n+1)xn+o(xn)

高阶用泰勒方便
利用夹逼原理求极限
利用单调有界准则求极限

适合题目给出递推的情况
利用定积分定义求极限（见第五章）

提可爱因子1n\frac{1}{n}n1
n项和求极限
1. 夹逼
2. 定积分定义

（3）连续

二、导数与微分

三、微分中值定理

四、不定积分

五、定积分

六、微分方程

七、多元积分

八、二重积分

九、无穷级数

十、空间解析几何

十一、三重积分及线面积分