问题描述

给定n个整数的序列{a1,a2,a3,…,an},求函数f(i,j)= max{0, x}x=∑i≤k≤jakx= \sum_{\mathclap{i\le k \le j}} a_{k}x=i≤k≤j∑ak
即在数组中选定 j - i + 1 个连续的整数，求这些整数的和的最大值。

解决方法

方法一穷举法

穷举所有子列和，从中找出最大值。

int MaxSubseqSum1(int List[], int N){// :para1 输入数组// :para2 数组长度// :return 最大子列和// 穷举法，穷举所有子列和，找出最大值int i,j,k; // 循环变量int ThisSum = 0, MaxSum = 0;for(i = 0; i < N; ++i){for(j = i; j < N; ++j){ThisSum = 0; //ThisSum 是从i到j的子列和for(k = i; k <= j; ++k){ // 计算i到j的子列和ThisSum += List[k];}if(ThisSum > MaxSum){MaxSum = ThisSum;}}}return MaxSum;
}

方法二部分存储中间值

// 部分存储中间值，减少重复运算
int MaxSubseqSum2(int List[], int N){int i,j;int ThisSum, MaxSum = 0;for(i = 0; i < N; ++i){ThisSum = 0;for(j = i; j < N; ++j){ThisSum += List[j];  // 新一轮循环只需加上新的j值索引的数组值即可。无需从i重新开始计算if(ThisSum > MaxSum){MaxSum = ThisSum;}}}return MaxSum;
}

方法三分治法

int Max3(int A, int B, int C){// 返回三个整数的最大值return A > B ? (A > C ? A : C) : (B > C ? B : C);
}int DivideAndConquer(int List[], int left, int right){//:para1 输入数组//:para2 子列左侧//:para3 子列右侧//即求 从List[left] 到List[right]的最大子列和int MaxLeftSum, MaxRightSum; //存放左右子问题的解int MaxLeftBorderSum, MaxRightBorderSum; // 存放跨分界线的结果int LeftBorderSum, RightBorderSum;int center, i;if(left == right){  // 递归终止条件，子列只有一个数字if(List[left] > 0) return List[left];else return 0;}// 下面是‘分’的过程center = (left + right) / 2; // 找到中分点// 递归求得两边子列的最大和MaxLeftSum = DivideAndConquer(List, left, center);MaxRightSum = DivideAndConquer(List, center + 1, right);// 下面求跨分界线的最大子列和MaxLeftBorderSum = 0;LeftBorderSum = 0;for(i = center; i >= left; --i){// 从中线向左扫描LeftBorderSum += List[i];if(LeftBorderSum > MaxLeftBorderSum){MaxLeftBorderSum = LeftBorderSum;}}MaxRightBorderSum = 0;RightBorderSum = 0;for(i = center+1; i <= right; ++i){// 从中线向右扫描RightBorderSum += List[i];if(RightBorderSum > MaxRightBorderSum){MaxRightBorderSum = RightBorderSum;}}// 下面返回‘治’的结果return Max3(MaxLeftSum, MaxRightSum, MaxLeftBorderSum+MaxRightBorderSum);}int MaxSubseqSum3(int List[], int N){// 分治法，将原始序列一分为二，最大子列在左半边、右半边或横跨左右边// 1、递归求得两子列的最大和S左和S右// 2、从中分点分头向左右两边扫描，找出跨过分界线的最大子列和S中// 3、Smax = max{S左，S右，S中}return DivideAndConquer(List, 0, N-1);
}

方法四在线处理

// 在线处理
// 每输入一个数据就即时处理。前三种是所有整数读入并存储后才可进行运算。在线处理不需要。在发现当前子列和
// 为负数时，可重新考察新的子列。
int MaxSubseqSum4(int List[], int N){int i;int ThisSum = 0, MaxSum = 0;for(i = 0; i < N; ++i){ThisSum += List[i];if(ThisSum > MaxSum) MaxSum = ThisSum;else if(ThisSum < 0) // 发现当前子列和为负数，不可能使后面的部分和增大，舍去ThisSum = 0;}return MaxSum;
}

测试用例

int main(){int List[] = { -1, 3, -2, 4, -6, 1, 6, -1 };printf("The MaxSum1 is %d\n", MaxSubseqSum1(List, 8));printf("The MaxSum2 is %d\n", MaxSubseqSum2(List, 8));printf("The MaxSum3 is %d\n", MaxSubseqSum3(List, 8));printf("The MaxSum4 is %d\n", MaxSubseqSum4(List, 8));system("pause");return 0;
}

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最大子列和问题（C语言）

最大子列和

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