定义

蒙特卡罗方法又称统计模拟法、随机抽样技术，是一种随机模拟方法，以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法，是使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。为象征性地表明这一方法的概率统计特征，故借用赌城蒙特卡罗命名。

通俗的讲，就是通过生成大量随机数进行模拟得最优解（近似最优解）的方法。

原理

由大数定理可知，当样本容量足够大时，事件的发生频率即为其概率。

注：蒙特卡罗模拟不是一种算法。准确的来说只是⼀种思想，或者是一种方法。

应用示例（附MatLab代码）

应用一：估计自然对数的底数 e 的值

类似布丰用投针实验估计了 π 值，一群人每人写一张卡片，卡片上是自己的名字。把卡片收上去，打乱次序，再随机地发给每一个人。每个人拿到的都不是自己卡片的概率趋近于1/e，多做几次这个实验，用频率代替概率，求倒数，就可以了。

MatLab代码示例

clear;clc
tic  %计算tic和toc中间部分的代码的运行时间
n = 100; % 总人数
N = 10000000; % 循环的次数
unequal = 0; % 每个人收到的卡片都不是自己的for i = 1:N % 循环N次X = randperm(n); % 生成新的随机数序列,模拟给每个人发卡片judge = 0; % judge = 0，则每个人收到的卡片都不是自己的for j = 1:nif X(j) == jjudge = 1; % 如果存在有人收到的卡片是自己的，便记judge为1，跳出循环break;endendif judge == 0unequal = unequal + 1;end
ende_1 = unequal / N; % 每个人拿到的都不是自己卡片的概率为1/e
e = e_1^-1; % 取倒数求e
disp(['蒙特卡罗估计的自然常数e的值为',num2str(e)]); % 打印e的值(自然常数真实值约为2.7182)
toc  %计算tic和toc中间部分的代码的运行时间

输出结果

蒙特卡罗估计的自然常数e的值为2.7188
时间已过 54.929325 秒。

简化版本的代码

clear;clc
tic  %计算tic和toc中间部分的代码的运行时间
n = 100; % 总人数
N = 10000000; % 循环的次数
unequal = 0; % 每个人收到的卡片都不是自己的for i = 1:N % 循环N次X = randperm(n); % 生成新的随机数序列,模拟给每个人发卡片if isempty(find(X == [1:n])) % 直接将新的随机数序列与1-n的顺序数列作比较% find(X)可以用来返回这个向量中非零元素的下标，如果X中所有元素都为0，则返回空值% isempty(X)函数可以用来判断X是否为空, 如果X为空， isempty(X) 返回逻辑值1(true)，否则返回逻辑值0(false)。unequal = unequal + 1;end
ende_1 = unequal / N; % 每个人拿到的都不是自己卡片的概率为1/e
e = e_1^-1; % 取倒数求e
disp(['蒙特卡罗估计的自然常数e的值为',num2str(e)]); % 打印e的值(自然常数真实值约为2.7182)
toc  %计算tic和toc中间部分的代码的运行时间

输出结果

蒙特卡罗估计的自然常数e的值为2.718
时间已过 60.641203 秒。

可以看到使用蒙特卡罗估计出的自然常数e的值基本接近其实际值。
如果你想知道本题具体的数学推导过程，可见知乎 - 布丰用投针实验估计了 π 值，那么用什么简单方法可以估计自然对数的底数 e 的值？

应用二：求解非线性规划问题

（1）MatLab代码——初次寻找最小值

clc,clear;
format long g   %可以将Matlab的计算结果显示为一般的长数字格式（默认会保留四位小数，或使用科学计数法）
tic  %计算tic和toc中间部分的代码的运行时间
n = 10000000; % 生成的随机数的组数
x1 = unifrnd(0,16,n,1); % 生成在[0,16]之间均匀分布的随机数组成的n行1列的向量构成x1
x2 = unifrnd(0,8,n,1);  % 生成在[0,8]之间均匀分布的随机数组成的n行1列的向量构成x2
fmin = inf; % 初始化 fmin = 正无穷
X = zeros(1,2); % 初始化储存最小处x1, x2值的数组
for i = 1:nx = [x1(i), x2(i)];if( x(1)+2*x(2) < 16 & x(1)+2*x(2) < 16 )r = 2*(x(1)^2)+x(2)^2-x(1)*x(2)-8*x(1)-3*x(2);if(r < fmin)fmin = r;X = x;endend
end
disp(['f(x)最小值为:', num2str(fmin)]); % 注意：此处原本的字符串不能用双引号。
disp('最小处x1, x2值为：');
disp(X);
toc  %计算tic和toc中间部分的代码的运行时间

输出结果

f(x)最小值为:-15.1429
x1, x2值为2.71485111081151          2.85830659834113时间已过 1.780016 秒。

（2）MatLab代码——缩小范围重新模拟得到更加精确的取值

clc,clear;
format long g   %可以将Matlab的计算结果显示为一般的长数字格式（默认会保留四位小数，或使用科学计数法）
tic  %计算tic和toc中间部分的代码的运行时间
n = 10000000; % 生成的随机数组数
x1 = unifrnd(2.5,3,n,1); % 生成在[2.5,3]之间均匀分布的随机数组成的n行1列的向量构成x1
x2 = unifrnd(2.5,3,n,1);% 生成在[2.5,3]之间均匀分布的随机数组成的n行1列的向量构成x2
fmin = inf; % 初始化 fmin = 正无穷
X = zeros(1,2); % 初始化储存最小处x1, x2值的数组
for i = 1:nx = [x1(i), x2(i)]; % 构造x向量,储存第i个x1，x2对应值。if(x(1)+2*x(2) < 16 & x(1)+2*x(2) < 16)r = 2*(x(1)^2)+x(2)^2-x(1)*x(2)-8*x(1)-3*x(2);if(r < fmin)fmin = r;X = x;endend
end
disp(['f(x)最小值为:', num2str(fmin)]); % 注：此处原本的字符串不能用双引号。
disp('最小处x1, x2值为：');
disp(X);
toc  %计算tic和toc中间部分的代码的运行时间

输出结果

 f(x)最小值为:-15.1429x1, x2值为2.71423617782718          2.85717715949967时间已过 1.758372 秒。

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输出结果

简化版本的代码

输出结果

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输出结果

（2）MatLab代码——缩小范围重新模拟得到更加精确的取值

输出结果

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