原函数与反函数的关系

反函数与原函数的关系
反函数的定义域与值域分别是原来函数的值域与定义域；函数的反函数，本身也是一个函数；偶函数必无反函数；奇函数如果有反函数，其反函数也是奇函数。
什么是原函数

已知函数f(x)是一个定义在某区间的函数，如果存在可导函数F(x)，使得在该区间内的任一点都有dF(x)=f(x)dx，则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。
例如：sinx是cosx的原函数。

什么是反函数

一般来说，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x=g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^{-1(x)。反函数y=f}-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。

一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x），则y=f（x）的反函数为x=f(y)或者y=f^-1（x）。存在反函数(默认为单值函数）的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。注意：上标"−1"指的是函数幂，但不是指数幂。

反函数与原来函数关系

①函数的反函数，本身也是一个函数，由反函数的定义，原来函数也是其反函数的反函数，故函数的原来函数与反函数互称为反函数。

②反函数的定义域与值域分别是原来函数的值域与定义域。

③只有确定函数的映射是一一映射的函数才存在反函数，由此得出下面4点：

④偶函数必无反函数。

⑤单调函数必有反函数。

⑥奇函数如果有反函数，其反函数也是奇函数。

⑦原函数与其反函数在他们各自的定义域上单调性相同。

⑧互为反函数的图象间的关系。

函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线y＝x对称。

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