数学建模-蒙特卡洛模拟（Matlab）
2024-04-19 12:40:51
目录
一、布丰投针实验
二、三门问题
三、单窗口排队办事问题
四、非线性规划问题
五、书店买书问题
六、导弹追踪问题
七、旅行商问题
注意：代码文件仅供参考，一定不要直接用于自己的数模论文中
国赛对于论文的查重要求非常严格，代码雷同也算作抄袭
如何修改代码避免查重的方法：https://www.bilibili.com/video/av59423231 //清风数学建模
就是一系列模拟问题，接下来附上代码。
一、布丰投针实验
求pi可以。
l = 0.520; % 针的长度（任意给的）
a = 1.314; % 平行线的宽度(大于针的长度l即可)
n = 1000000; % 做n次投针试验，n越大求出来的pi越准确
m = 0; % 记录针与平行线相交的次数
x = rand(1, n) * a / 2 ; % 在[0, a/2]内服从均匀分布随机产生n个数， x中每一个元素表示针的中点和最近的一条平行线的距离
phi = rand(1, n) * pi; % 在[0, pi]内服从均匀分布随机产生n个数，phi中的每一个元素表示针和最近的一条平行线的夹角
% axis([0,pi, 0,a/2]); box on; % 画一个坐标轴的框架，x轴位于0-pi，y轴位于0-a/2， 并打开图形的边框
for i=1:n % 开始循环，依次看每根针是否和直线相交if x(i) <= l / 2 * sin(phi (i)) % 如果针和平行线相交m = m + 1; % 那么m就要加1
% plot(phi(i), x(i), 'r.') % 模仿书上的那个图，横坐标为phi，纵坐标为x , 用红色的小点进行标记
% hold on % 在原来的图形上继续绘制end
end
p = m / n; % 针和平行线相交出现的频率
mypi = (2 * l) / (a * p); % 我们根据公式计算得到的pi
disp(['蒙特卡罗方法得到pi为：', num2str(mypi)])%% （3） 由于一次模拟的结果具有偶然性，因此我们可以重复100次后再来求一个平均的pi
result = zeros(100,1); % 初始化保存100次结果的矩阵
l = 0.520; a = 1.314;
n = 1000000;
for num = 1:100m = 0; x = rand(1, n) * a / 2 ;phi = rand(1, n) * pi;for i=1:nif x(i) <= l / 2 * sin(phi (i))m = m + 1;endendp = m / n;mypi = (2 * l) / (a * p);result(num) = mypi; % 把求出来的myphi保存到结果矩阵中
end
mymeanpi = mean(result); % 计算result矩阵中保存的100次结果的均值
disp(['蒙特卡罗方法得到pi为：', num2str(mymeanpi)])二、三门问题
三扇门，一扇门后面有大奖，看抽中的概率。这里引入【改变主意】这种变量
%% （2）代码部分（在成功的条件下的概率）
n = 100000; % n代表蒙特卡罗模拟重复次数
a = 0; % a表示不改变主意时能赢得汽车的次数
b = 0; % b表示改变主意时能赢得汽车的次数
for i= 1 : n % 开始模拟n次x = randi([1,3]); % 随机生成一个1-3之间的整数x表示汽车出现在第x扇门后y = randi([1,3]); % 随机生成一个1-3之间的整数y表示自己选的门% 下面分为两种情况讨论：x=y和x~=yif x == y % 如果x和y相同，那么我们只有不改变主意时才能赢a = a + 1; b = b + 0;else % x ~= y ，如果x和y不同，那么我们只有改变主意时才能赢a = a + 0; b = b +1;end
end
disp(['蒙特卡罗方法得到的不改变主意时的获奖概率为：', num2str(a/n)]);
disp(['蒙特卡罗方法得到的改变主意时的获奖概率为：', num2str(b/n)]);%% （3）考虑失败情况的代码(无条件概率)
n = 100000; % n代表蒙特卡罗模拟重复次数
a = 0; % a表示不改变主意时能赢得汽车的次数
b = 0; % b表示改变主意时能赢得汽车的次数
c = 0; % c表示没有获奖的次数
for i= 1 : n % 开始模拟n次x = randi([1,3]); % 随机生成一个1-3之间的整数x表示汽车出现在第x扇门后y = randi([1,3]); % 随机生成一个1-3之间的整数y表示自己选的门change = randi([0, 1]); % change =0 不改变主意，change = 1 改变主意% 下面分为两种情况讨论：x=y和x~=yif x == y % 如果x和y相同，那么我们只有不改变主意时才能赢if change == 0 % 不改变主意a = a + 1; else % 改变了主意c= c+1;endelse % x ~= y ，如果x和y不同，那么我们只有改变主意时才能赢if change == 0 % 不改变主意c = c + 1; else % 改变了主意b= b + 1;endend
end
disp(['蒙特卡罗方法得到的不改变主意时的获奖概率为：', num2str(a/n)]);
disp(['蒙特卡罗方法得到的改变主意时的获奖概率为：', num2str(b/n)]);
disp(['蒙特卡罗方法得到的没有获奖的概率为：', num2str(c/n)]);
三、单窗口排队办事问题
%% （2）模型中出现的变量的说明
% x(i)表示第i-1个客户和第i个客户到达的间隔时间，服从参数为0.1的指数分布
% y(i)表示第i个客户的服务持续时间，服从均值为10方差为4(标准差为2)的正态分布 (若小于1则按1计算)
% c(i)表示第i个客户的到达时间，那么c(i) = c(i-1) + x(i)，初始值c0=0
% b(i)表示第i个客户开始服务的时间
% e(i)表示第i个客户结束服务的时间，初始值e0=0
% 第i个客户结束服务的时间 = 第i个客户开始服务的时间 + 第i个客户的服务持续时间
% 即：e(i) = b(i) + y(i）
% 第i个客户开始服务的时间取决于该客户的到达时间和上一个客户结束服务的时间
% 即：b(i) = max(c(i),e(i-1))，初始值b1=c1;
% 第i个客户等待的时间 = 第i个客户开始服务的时间 - 第i个客户到达银行的时间
% 即：wait(i) = b(i) - c(i)
% w表示所有客户等待时间的总和
% 假设一天内银行最终服务了n个顾客，那么客户的平均等待时间t = w/n
%% （3）问题1的代码
clear
tic %计算tic和toc中间部分的代码的运行时间
i = 1; % i表示第i个客户，最开始取i=1
w = 0; % w用来表示所有客户等待的总时间，初始化为0
e0 = 0; c0 = 0; % 初始化e0和c0为0
x(1) = exprnd(10); % 第0个客户(假想的)和第1个客户到达的时间间隔
c(1) = c0 + x(1); % 第1个客户到达的时间
b(1) = c(1); % 第1个客户的开始服务的时间
while b(i) <= 480 % 开始设置循环，只要第i个顾客开始服务的时间(时刻)小于480，就可以对其服务（银行每天工作8小时，折换为分钟就是480分钟）y(i) = normrnd(10,2); % 第i个客户的服务持续时间，服从均值为10方差为4(标准差为2)的正态分布if y(i) < 1 % 根据题目的意思：若服务持续时间不足一分钟，则按照一分钟计算y(i) = 1;ende(i) = b(i) + y(i); % 第i个客户结束服务的时间 = 第i个客户开始服务的时间 + 第i个客户的服务持续时间wait(i) = b(i) - c(i); % 第i个客户等待的时间 = 第i个客户开始服务的时间 - 第i个客户到达银行的时间w = w + wait(i); % 更新所有客户等待的总时间i = i + 1; % 增加一名新的客户x(i) = exprnd(10); % 这位新客户和上一个客户到达的时间间隔c(i) = c(i-1) + x(i); % 这位新客户到达银行的时间 = 上一个客户到达银行的时间 + 这位新客户和上一个客户到达的时间间隔b(i) = max(c(i),e(i-1)); % 这个新客户开始服务的时间取决于其到达时间和上一个客户结束服务的时间
end
n = i-1; % n表示银行一天8小时一共服务的客户人数
t = w/n; % 客户的平均等待时间
disp(['银行一天8小时一共服务的客户人数为: ',num2str(n)])
disp(['客户的平均等待时间为: ',num2str(t)])
toc %计算tic和toc中间部分的代码的运行时间%% （4）问题2的代码
clear
tic %计算tic和toc中间部分的代码的运行时间
day = 100; % 假设模拟100天
n = zeros(day,1); % 初始化用来保存每日接待客户数结果的矩阵
t = zeros(day,1); % 初始化用来保存每日客户平均等待时长的矩阵
for k = 1:dayi = 1; % i表示第i个客户，最开始取i=1w = 0; % w用来表示所有客户等待的总时间，初始化为0e0 = 0; c0 = 0; % 初始化e0和c0为0x(1) = exprnd(10); % 第0个客户(假想的)和第1个客户到达的时间间隔c(1) = c0 + x(1); % 第1个客户到达的时间b(1) = c(1); % 第1个客户的开始服务的时间while b(i) <= 480 % 开始设置循环，只要第i个顾客开始服务的时间(时刻)小于480，就可以对其服务（银行每天工作8小时，折换为分钟就是480分钟）y(i) = normrnd(10,2); % 第i个客户的服务持续时间，服从均值为10方差为4(标准差为2)的正态分布if y(i) < 1 % 根据题目的意思：若服务持续时间不足一分钟，则按照一分钟计算y(i) = 1;ende(i) = b(i) + y(i); % 第i个客户结束服务的时间 = 第i个客户开始服务的时间 + 第i个客户的服务持续时间wait(i) = b(i) - c(i); % 第i个客户等待的时间 = 第i个客户开始服务的时间 - 第i个客户到达银行的时间w = w + wait(i); % 更新所有客户等待的总时间i = i + 1; % 增加一名新的客户x(i) = exprnd(10); % 这位新客户和上一个客户到达的时间间隔c(i) = c(i-1) + x(i); % 这位新客户到达银行的时间 = 上一个客户到达银行的时间 + 这位新客户和上一个客户到达的时间间隔b(i) = max(c(i),e(i-1)); % 这个新客户开始服务的时间取决于其到达时间和上一个客户结束服务的时间endn(k) = i-1; % n(k)表示银行第k天服务的客户人数t(k) = w/n(k); % t(k)表示该银行第k天客户的平均等待时间
end
disp([num2str(day),'个工作日中，银行每日平均服务的客户人数为: ',num2str(mean(n))])
disp([num2str(day),'个工作日中，银行每日客户的平均等待时间为: ',num2str(mean(t))])
toc %计算tic和toc中间部分的代码的运行时间四、非线性规划问题
%% （2）代码部分
clc,clear;
tic %计算tic和toc中间部分的代码的运行时间
n=10000000; %生成的随机数组数
x1=unifrnd(20,30,n,1); % 生成在[20,30]之间均匀分布的随机数组成的n行1列的向量构成x1
x2=x1 - 10;
x3=unifrnd(-10,16,n,1); % 生成在[-10,16]之间均匀分布的随机数组成的n行1列的向量构成x3
fmax=-inf; % 初始化函数f的最大值为负无穷（后续只要找到一个比它大的我们就对其更新）
for i=1:nx = [x1(i), x2(i), x3(i)]; %构造x向量, 这里千万别写成了：x =[x1, x2, x3]if (-x(1)+2*x(2)+2*x(3)>=0) & (x(1)+2*x(2)+2*x(3)<=72) % 判断是否满足条件result = x(1)*x(2)*x(3); % 如果满足条件就计算函数值if result > fmax % 如果这个函数值大于我们之前计算出来的最大值fmax = result; % 那么就更新这个函数值为新的最大值X = x; % 并且将此时的x1 x2 x3保存到一个变量中endend
end
disp(strcat('蒙特卡罗模拟得到的最大值为',num2str(fmax)))
disp('最大值处x1 x2 x3的取值为：')
disp(X)
toc %计算tic和toc中间部分的代码的运行时间%% （3）缩小范围重新模拟得到更加精确的取值
clc,clear;
tic %计算tic和toc中间部分的代码的运行时间
n=10000000; %生成的随机数组数
x1=unifrnd(22,23,n,1); % 生成在[22,23]之间均匀分布的随机数组成的n行1列的向量构成x1
x2=x1 - 10;
x3=unifrnd(11,13,n,1); % 生成在[11,13]之间均匀分布的随机数组成的n行1列的向量构成x3
fmax=-inf; % 初始化函数f的最大值为负无穷（后续只要找到一个比它大的我们就对其更新）
for i=1:nx = [x1(i), x2(i), x3(i)]; %构造x向量, 这里千万别写成了：x =[x1, x2, x3]if (-x(1)+2*x(2)+2*x(3)>=0) & (x(1)+2*x(2)+2*x(3)<=72) % 判断是否满足条件result = x(1)*x(2)*x(3); % 如果满足条件就计算函数值if result > fmax % 如果这个函数值大于我们之前计算出来的最大值fmax = result; % 那么就更新这个函数值为新的最大值X = x; % 并且将此时的x1 x2 x3保存到一个变量中endend
end
disp(strcat('蒙特卡罗模拟得到的最大值为',num2str(fmax)))
disp('最大值处x1 x2 x3的取值为：')
disp(X)
toc %计算tic和toc中间部分的代码的运行时间五、书店买书问题
%% （2）代码求解
min_money = +Inf; % 初始化最小的花费为无穷大，后续只要找到比它小的就更新
min_result = randi([1, 6],1,5); % 初始化五本书都在哪一家书店购买，后续我们不断对其更新
%若min_result = [5 3 6 2 3]，则解释为：第1本书在第5家店买，第2本书在第3家店买，第3本书在第6家店买，第4本书在第2家店买，第5本书在第3家店买
n = 100000; % 蒙特卡罗模拟的次数
M = [18 39 29 48 5924 45 23 54 4422 45 23 53 5328 47 17 57 4724 42 24 47 5927 48 20 55 53]; % m_ij 第j本书在第i家店的售价
freight = [10 15 15 10 10 15]; % 第i家店的运费
for k = 1:n % 开始循环result = randi([1, 6],1,5); % 在1-6这些整数中随机抽取一个1*5的向量，表示这五本书分别在哪家书店购买index = unique(result); % 在哪些商店购买了商品，因为我们等下要计算运费money = sum(freight(index)); % 计算买书花费的运费% 计算总花费：刚刚计算出来的运费 + 五本书的售价for i = 1:5 money = money + M(result(i),i); endif money < min_money % 判断刚刚随机生成的这组数据的花费是否小于最小花费，如果小于的话min_money = money % 我们更新最小的花费min_result = result % 用这组数据更新最小花费的结果end
end
min_money % 18+39+48+17+47+20
min_result最后10w次结果模拟的1 1 4 1 4代表第一本书在第一家店买，第二本书在第一家店买，第三本书在第四家店买...
六、导弹追踪问题
预备知识：不用写进程序
% 设置横纵坐标的范围并标上字符
x = 1:0.01:3;
y = x .^ 2;
plot(x,y) % 画出x和y的图形
axis([0 3 0 10]) % 设置横坐标范围为[0, 3] 纵坐标范围为[0, 10]
pause(3) % 暂停3秒后再继续接下来的命令
text(2,4,'清风') % 在坐标为(2,4)的点上标上字符串：清风
close % 关闭图形窗口%% (2) 代码求解
% 1. 不画追击的示意图
clear;clc
v=200; % 任意给定B船的速度（后期我们可以再改的）
dt=0.0000001; % 定义时间间隔
x=[0,20]; % 定义导弹和B船的横坐标分别为x(1)和x(2)
y=[0,0]; % 定义导弹和B船的纵坐标分别为y(1)和y(2)
t=0; % 初始化导弹击落B船的时间
d=0; % 初始化导弹飞行的距离
m=sqrt(2)/2; % 将sqrt(2)/2定义为一个常量，使后面看起来很简洁
dd=sqrt((x(2)-x(1))^2+(y(2)-y(1))^2); % 导弹与B船的距离
while(dd>=0.001) % 只要两者的距离足够大，就一直循环下去。（两者距离足够小时表示导弹击中，这里的临界值要结合dt来取，否则可能导致错过交界处的情况）t=t+dt; % 更新导弹击落B船的时间d=d+3*v*dt; % 更新导弹飞行的距离x(2)=20+t*v*m; y(2)=t*v*m; % 计算新的B船的位置 （注：m=sqrt(2)/2）dd=sqrt((x(2)-x(1))^2+(y(2)-y(1))^2); % 更新导弹与B船的距离tan_alpha=(y(2)-y(1))/(x(2)-x(1)); % 计算斜率，即tan(α)cos_alpha=sqrt(1/(1+tan_alpha^2)); % sec(α)^2 = (1+tan(α)^2)sin_alpha=sqrt(1-cos_alpha^2); % sin(α)^2 +cos(α)^2 = 1x(1)=x(1)+3*v*dt*cos_alpha; y(1)=y(1)+3*v*dt*sin_alpha; % 计算新的导弹的位置if d>50 % 导弹的有效射程为50个单位disp('导弹没有击中B船');break; % 退出循环endif d<=50 & dd<0.001 % 导弹飞行的距离小于50个单位且导弹和B船的距离小于0.001（表示击中）disp(['导弹飞行',num2str(d),'单位后击中B船'])disp(['导弹飞行的时间为',num2str(t*60),'分钟'])end
end% 2. 画追击的示意图
clear;clc
v=200; % 任意给定B船的速度（后期我们可以再改的）
dt=0.0000001; % 定义时间间隔
x=[0,20]; % 定义导弹和B船的横坐标分别为x(1)和x(2)
y=[0,0]; % 定义导弹和B船的纵坐标分别为y(1)和y(2)
t=0; % 初始化导弹击落B船的时间
d=0; % 初始化导弹飞行的距离
m=sqrt(2)/2; % 将sqrt(2)/2定义为一个常量，使后面看起来很简洁
dd=sqrt((x(2)-x(1))^2+(y(2)-y(1))^2); % 导弹与B船的距离
for i=1:2plot(x(i),y(i),'.k','MarkerSize',1); % 画出导弹和B船所在的坐标，点的大小为1，颜色为黑色(k)，用小点表示grid on; % 打开网格线hold on; % 不关闭图形，继续画图
end
axis([0 30 0 10]) % 固定x轴的范围为0-30 固定y轴的范围为0-10
k = 0; % 引入一个变量 为了控制画图的速度（因为Matlab中画图的速度超级慢）
while(dd>=0.001) % 只要两者的距离足够大，就一直循环下去。（两者距离足够小时表示导弹击中，这里的临界值要结合dt来取，否则可能导致错过交界处的情况）t=t+dt; % 更新导弹击落B船的时间d=d+3*v*dt; % 更新导弹飞行的距离x(2)=20+t*v*m; y(2)=t*v*m; % 计算新的B船的位置 （注：m=sqrt(2)/2）dd=sqrt((x(2)-x(1))^2+(y(2)-y(1))^2); % 更新导弹与B船的距离tan_alpha=(y(2)-y(1))/(x(2)-x(1)); % 计算斜率，即tan(α)cos_alpha=sqrt(1/(1+tan_alpha^2)); % 利用公式：sec(α)^2 = (1+tan(α)^2) 计算出cos(α)sin_alpha=sqrt(1-cos_alpha^2); % 利用公式： sin(α)^2 +cos(α)^2 = 1 计算出sin(α)x(1)=x(1)+3*v*dt*cos_alpha; y(1)=y(1)+3*v*dt*sin_alpha; % 计算新的导弹的位置k = k +1 ; if mod(k,500) == 0 % 每刷新500次时间就画出下一个导弹和B船所在的坐标 mod(m,n)表示求m/n的余数for i=1:2plot(x(i),y(i),'.k','MarkerSize',1);hold on; % 不关闭图形，继续画图endpause(0.001); % 暂停0.001s后再继续下面的操作endif d>50 % 导弹的有效射程为50个单位disp('导弹没有击中B船');break; % 退出循环endif d<=50 & dd<0.001 % 导弹飞行的距离小于50个单位且导弹和B船的距离小于0.001（表示击中）disp(['导弹飞行',num2str(d),'个单位后击中B船'])disp(['导弹飞行的时间为',num2str(t*60),'分钟'])end
end
七、旅行商问题
类似离散数学遍历图回到起点的问题
%% （2）代码求解
clear;clc
% 只有10个城市的简单情况coord =[0.6683 0.6195 0.4 0.2439 0.1707 0.2293 0.5171 0.8732 0.6878 0.8488 ;0.2536 0.2634 0.4439 0.1463 0.2293 0.761 0.9414 0.6536 0.5219 0.3609]' ; % 城市坐标矩阵，n行2列
% 38个城市，TSP数据集网站(http://www.tsp.gatech.edu/world/djtour.html) 上公测的最优结果6656。% coord = [11003.611100,42102.500000;11108.611100,42373.888900;11133.333300,42885.833300;11155.833300,42712.500000;11183.333300,42933.333300;11297.500000,42853.333300;11310.277800,42929.444400;11416.666700,42983.333300;11423.888900,43000.277800;11438.333300,42057.222200;11461.111100,43252.777800;11485.555600,43187.222200;11503.055600,42855.277800;11511.388900,42106.388900;11522.222200,42841.944400;11569.444400,43136.666700;11583.333300,43150.000000;11595.000000,43148.055600;11600.000000,43150.000000;11690.555600,42686.666700;11715.833300,41836.111100;11751.111100,42814.444400;11770.277800,42651.944400;11785.277800,42884.444400;11822.777800,42673.611100;11846.944400,42660.555600;11963.055600,43290.555600;11973.055600,43026.111100;12058.333300,42195.555600;12149.444400,42477.500000;12286.944400,43355.555600;12300.000000,42433.333300;12355.833300,43156.388900;12363.333300,43189.166700;12372.777800,42711.388900;12386.666700,43334.722200;12421.666700,42895.555600;12645.000000,42973.333300];n = size(coord,1); % 城市的数目figure(1) % 新建一个编号为1的图形窗口
plot(coord(:,1),coord(:,2),'o'); % 画出城市的分布散点图
for i = 1:ntext(coord(i,1)+0.01,coord(i,2)+0.01,num2str(i)) % 在图上标上城市的编号（加上0.01表示把文字的标记往右上方偏移一点）
end
hold on % 等一下要接着在这个图形上画图的d = zeros(n); % 初始化两个城市的距离矩阵全为0
for i = 2:n for j = 1:i coord_i = coord(i,:); x_i = coord_i(1); y_i = coord_i(2); % 城市i的横坐标为x_i，纵坐标为y_icoord_j = coord(j,:); x_j = coord_j(1); y_j = coord_j(2); % 城市j的横坐标为x_j，纵坐标为y_jd(i,j) = sqrt((x_i-x_j)^2 + (y_i-y_j)^2); % 计算城市i和j的距离end
end
d = d+d'; % 生成距离矩阵的对称的一面min_result = +inf; % 假设最短的距离为min_result，初始化为无穷大，后面只要找到比它小的就对其更新
min_path = [1:n]; % 初始化最短的路径就是1-2-3-...-n
N = 10000000; % 蒙特卡罗模拟的次数
for k = 1:N % 开始循环result = 0; % 初始化走过的路程为0path = randperm(n); % 生成一个1-n的随机打乱的序列for i = 1:n-1 result = d(path(i),path(i+1)) + result; % 按照这个序列不断的更新走过的路程这个值endresult = d(path(1),path(n)) + result; % 别忘了加上从最后一个城市返回到最开始那个城市的距离if result < min_result % 判断这次模拟走过的距离是否小于最短的距离，如果小于就更新最短距离和最短的路径min_path = path;min_result = resultend
end
min_path
min_path = [min_path,min_path(1)]; % 在最短路径的最后面加上一个元素，即第一个点（我们要生成一个封闭的图形）
n = n+1; % 城市的个数加一个（紧随着上一步）
for i = 1:n-1 j = i+1;coord_i = coord(min_path(i),:); x_i = coord_i(1); y_i = coord_i(2); coord_j = coord(min_path(j),:); x_j = coord_j(1); y_j = coord_j(2);plot([x_i,x_j],[y_i,y_j],'-') % 每两个点就作出一条线段，直到所有的城市都走完pause(0.5) % 暂停0.5s再画下一条线段hold on
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