高等数学 · 第一章函数

第一节实数
- 一、实数的定义
- 二、区间和领域
- - 区间
  - 邻域
- 三、绝对值
- - 例题
第二节函数的定义及其表示法
- 一、常量与变量
- 二、函数的定义
- - 函数的定义域
  - 参考例题
第三节函数的几种特性
第四节反函数和复合函数
- 一、反函数
- - 参考例题
- 二、复合函数
- - 参考例题
第五节初等函数
第六节总结

第一节实数

一、实数的定义

有理数与无理数统称为实数，全体实数组成的数集成为实数集，用 RRR 表示；用 QQQ 表示有理数集，ZZZ 表示整数集，NNN 表示自然数集。

二、区间和领域

区间

列举法：A={1,2,3,4}A = \{ 1,2,3,4 \}A={1,2,3,4}
属性法：A={n∣n是小于5的正整数}A = \{ n | n是小于5的正整数\}A={n∣n是小于5的正整数} 或 B={x∣1<x<2}B = \{ x | 1 \lt x \lt 2 \}B={x∣1<x<2}

像这样由数轴上的“一段”连续的点构成的数集，我们称之为区间，记为(1,2)(1,2)(1,2)，这是开区间。
如果数集为：C={y∣1≤y≤2}C = \{ y | 1 \le y \le 2 \}C={y∣1≤y≤2}，那么记为[1,2][1,2][1,2]，这是闭区间。

邻域

我们经常会运用一种特殊的开区间(α−δ,α+δ)(\alpha - \delta, \alpha + \delta)(α−δ,α+δ)，我们称这个开区间为点 α\alphaα 的邻域，记为U(α,δ)U(\alpha,\delta)U(α,δ)，即
U(α,δ)=(α−δ,α+δ)U(\alpha, \delta) = (\alpha - \delta, \alpha + \delta)U(α,δ)=(α−δ,α+δ)

称点 α\alphaα 为邻域的中心， δ\deltaδ为邻域的半径。

有时候，我们只考虑点 α\alphaα 邻近的点，而不考虑点 α\alphaα ,即考虑点集 {x∣α−δ<x<α且α<x<α+δ}\{ x | \alpha - \delta \lt x \lt \alpha 且 \alpha \lt x \lt \alpha + \delta \}{x∣α−δ<x<α且α<x<α+δ}，我们称这个点集为点 α\alphaα 的 “去心邻域”，记为U∘(α,δ){U^\circ(\alpha,\delta)}U∘(α,δ)，即
U∘={x∣α−δ<x<α且α<x<α+δ}U^\circ = \{ x | \alpha - \delta \lt x \lt \alpha 且 \alpha \lt x \lt \alpha + \delta \}U∘={x∣α−δ<x<α且α<x<α+δ}

三、绝对值

设 xxx 是一实数，用 ∣x∣|x|∣x∣ 记 xxx 的绝对值，其定义如下：
∣x∣={xx≥0,−xx<0.|x| = \begin{cases} x & \quad x \ge 0, \\ -x & \quad x \lt 0. \end{cases} ∣x∣={x−xx≥0,x<0.

∣x∣|x|∣x∣ 的几何意义是 xxx 到原点的距离。显然，∣x−y∣|x-y|∣x−y∣ 表示点 xxx 与点 yyy 之间的距离。

绝对值有以下性质：设x,yx,yx,y 是实数，则

∣x∣≥0,|x| \ge 0,∣x∣≥0, 当且仅当 x=0x = 0x=0 时才有 ∣x∣=0;|x| = 0;∣x∣=0;
∣−x∣=∣x∣;|-x| = |x|;∣−x∣=∣x∣;
∣xy∣=∣x∣∣y∣;|xy| = |x||y|;∣xy∣=∣x∣∣y∣;
a>0,∣x∣<aa \gt 0, |x| \lt aa>0,∣x∣<a 当且仅当 −a<x<a;-a \lt x \lt a;−a<x<a;
−∣x∣≤x≤∣x∣;-|x| \le x \le |x|;−∣x∣≤x≤∣x∣;
∣x+y∣≤∣x∣+∣y∣;|x + y| \le |x| + |y|;∣x+y∣≤∣x∣+∣y∣;
∣x−y∣≥∣∣x∣−∣y∣∣≥∣x∣−∣y∣.|x - y| \ge ||x| - |y|| \ge |x| - |y|.∣x−y∣≥∣∣x∣−∣y∣∣≥∣x∣−∣y∣.
以上性质均可通过其他性质证明，基本上直接运用。

例题

1、已知不等式 ∣2x+1x−1∣<1|\frac {2x + 1} { x - 1}| \lt 1∣x−12x+1∣<1，求xxx的取值范围。
解析：−4<x<2/3-4 \lt x \lt {^2/_3}−4<x<2/3，通过性质四，再分段求解即可。

第二节函数的定义及其表示法

一、常量与变量

有些量在所考虑问题的过程中始终不变，保持定量，这些量我们称之为常量；而有些量在所考虑问题的过程中是变化的，他们刻在一定的范围内取不同的值，这些量我们称之为变量。

二、函数的定义

设x，yx，yx，y是两个变量，xxx 的变化范围是实数集 DDD.如果对于任何的x∈Dx \in Dx∈D，按照一定的法则都有唯一确定的 yyy 值与之对应，则称变量 yyy 是变量 xxx 的函数，记为 y=f(x)y = f(x)y=f(x)，称D是函数的定义域，x 为自变量，y为因变量.

对于一个确定的 x0∈Dx_0 \in Dx0∈D，与之对应的 y0=f(x0)y_0 = f(x_0)y0=f(x0) 称为函数 yyy 在点 x0x_0x0 处的函数值，全体函数值的几何称为函数 yyy 的值域，记为 f(D)f(D)f(D) ，即
f(D)={y∣y=f(x),x∈D}f(D) = \{ y | y = f(x), x \in D \}f(D)={y∣y=f(x),x∈D}

函数的两要素：定义域和对应法则
“两个函数相等”意味着这两个函数的定义域相同，对应法则也相同。

常用的函数表示法：

公式法——分段函数
图像法
表格法

函数的定义域

一般地，自然定义域应如此讨论:

分式的分母不能为零
开偶次方的被开方式子不能为负
当方幂的指数是无理数或含有变数时，方底的式子应为正
对数符号后的式子（真数）不能为负
反正弦、反余弦符号后式子的绝对值不能大于1
有限个函数由四则运算得到的新函数，其定义域是各函数定义域的交集

参考例题

计算题 : 求函数 f(x)=1x+1arcsin⁡exf(x) = \cfrac {1}{x + 1} \arcsin e^xf(x)=x+11arcsinex 的定义域.
[解析] :
- x+1x + 1x+1 作为分母不应该为 000.
- 因为要考虑 arcsin⁡x\arcsin xarcsinx 的定义域, 所以 ex∈[−1,1]e ^ x \in [-1,1]ex∈[−1,1]
计算求两者区间的交集就好.

第三节函数的几种特性

有界性 : ∣f(x)∣≤M|f(x)| \le M∣f(x)∣≤M
单调性 :
1. 单调递增 : 如果x1,x2∈I,x1<x2x_1,x_2 \in I, x_1 \lt x_2x1,x2∈I,x1<x2 , 都存在 f(x1)<f(x2)f(x_1) < f(x_2)f(x1)<f(x2)
2. 单调递减 : 如果x1,x2∈I,x1<x2x_1,x_2 \in I, x_1 \lt x_2x1,x2∈I,x1<x2 , 都存在 f(x1)>f(x2)f(x_1) \gt f(x_2)f(x1)>f(x2)
奇偶性
1. 偶函数 : 对于定义域中的任意xxx , 都存在f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)f(−x)=f(x)
2. 奇函数 : 对于定义域中的任意xxx , 都存在f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)f(−x)=−f(x)
其中，对于对于两个在定义域内有定义的函数 :
1. 两个偶函数之和，之积为偶函数
2. 两个奇函数之和为奇函数，之积为偶函数
3. 一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数
周期性 : 必然存在 f(x+T)=f(x)f(x+T) = f(x)f(x+T)=f(x)
例如 y=sin⁡x,y=cos⁡x,y=tan⁡x,y=cot⁡x均为周期函数.y = \sin x, y = \cos x, y = \tan x, y = \cot x 均为周期函数.y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx均为周期函数.

第四节反函数和复合函数

一、反函数

函数 y=f(x)y = f(x)y=f(x) 的定义域为 DDD，至于为 f(D)f(D)f(D). 若对任何 y∈f(D)y \in f(D)y∈f(D)，在 DDD 内有唯一确定的 xxx 使 y=f(x)y = f(x)y=f(x), 则称这样形成的函数 xxx 为 y=f(x)y = f(x)y=f(x) 的反函数，记为 x=f−1(y)x = f^{-1}(y)x=f−1(y), 相应地，也称函数 y=f(x)y = f(x)y=f(x) 是直接函数(原函数).

对于反函数 x=f−1(y)x = f^{-1}(y)x=f−1(y), 定义域是 f(D)f(D)f(D), 值域是 DDD,
1. 单调函数具有反函数
2. 原函数与反函数关于 y=xy = xy=x 对称

参考例题

求 y=ex−e−x2y = \cfrac {e^x - e^{-x}} {2}y=2ex−e−x 的反函数
【解析】由 y=ex−e−x2⇒2y=ex−e−xy = \cfrac {e^x - e^{-x}} {2} \Rightarrow 2y = e^x - e^{-x}y=2ex−e−x⇒2y=ex−e−x，等式两边乘以 exe^xex 可得：
(ex)2−2yex−1=0(e^x)^2 - 2ye^x - 1 = 0(ex)2−2yex−1=0
解关于 exe^xex 的二次方程，得 ex=y±y2+1.e^x = y \pm \sqrt {y^2 + 1}.ex=y±y2+1.
由于 ex≥0e^x \ge 0ex≥0, 所以只取 ex=y+y2+1e^x = y + \sqrt{y^2 + 1}ex=y+y2+1 .从而
x=ln(y+y2+1).x = ln(y + \sqrt{y^2 + 1}).x=ln(y+y2+1).
故反函数为 y=ln(x+x2+1).y = ln(x + \sqrt{x^2 + 1}).y=ln(x+x2+1).

二、复合函数

函数 y=f(u),u∈Du,u=φ(x),x∈Dx.y = f(u), u \in D_u, u = \varphi(x), x \in D_x.y=f(u),u∈Du,u=φ(x),x∈Dx. 如果函数 u=φ(x)u = \varphi(x)u=φ(x) 的值域 φ(D)\varphi(D)φ(D) 包含在函数 y=f(u)y = f(u)y=f(u) 的定义域 DuD_uDu 内, 即 φ(Dx)⊂Du\varphi(D_x) \subset D_uφ(Dx)⊂Du, 那么,对任何 x∈Dx \in Dx∈D. 有 u=φ(x)u = \varphi(x)u=φ(x) 与之对应,又有 y=f(u)y = f(u)y=f(u) 与 uuu 对应,从而对于任何 x∈Dx \in Dx∈D, 有确定的 yyy 与之对应,形成 yyy 是 xxx 的函数,记为 y=f(φ(x))(x∈Dx)y = f(\varphi(x))\ \ (x \in D_x)y=f(φ(x)) (x∈Dx) , 称之为是由 y=f(u)y = f(u)y=f(u) 和 u=φ(x)u = \varphi(x)u=φ(x) 复合而成的复合函数. yyy 是因变量, xxx 是自变量, 称 uuu 是中间变量.

参考例题

计算题: 已知 f(1+x)=x2f(1+x) = x^2f(1+x)=x2, 求f(x)f(x)f(x).
[解析] : 令 1+x=u1+x = u1+x=u, 则 f(u)=(u−1)2f(u) = (u-1)^2f(u)=(u−1)2, 所以 f(x)=(x−1)2f(x) = (x - 1)^2f(x)=(x−1)2.

第五节初等函数

基本初等函数
- 常值函数 (y=cy = cy=c)
- 幂函数 (y=x2y = x^2y=x2)
- 指数函数 (y=axy = a^xy=ax)
- 对数函数 (y=logaxy = log_axy=logax)
- 三角函数 ({y=sin⁡xy=cos⁡xy=tan⁡xy=cot⁡x\begin{cases} y = \sin x \\ y = \cos x \\ y = \tan x \\ y = \cot x \\ \end{cases}⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧y=sinxy=cosxy=tanxy=cotx)
- 反三角函数 ({y=arcsin⁡xy=arccos⁡xy=arctan⁡xy=arccotx\begin{cases} y = \arcsin x \\ y = \arccos x \\ y = \arctan x \\ y = arccot \ x \end{cases}⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧y=arcsinxy=arccosxy=arctanxy=arccot x)(与对应的三角函数互为反函数)
初等函数
由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算构成,并且在其定义域内具有统一的解析表达式的函数,称为初等函数.
非初等函数
代表性的例子 : 分段函数

第六节总结