LOJ#2833 「JOISC 2018 Day 1」帐篷 dp

题目描述
译自 JOISC 2018 Day1 T3「テント / Tents」
JOI 君经营着一座露营地。露营地被划分为 H 行 W 列的矩阵，各行平行于东西方向，而各列平行于南北方向。从北向南数第 i i i 行和从东向西数第 j j j 列相交的格子表示为 ( i , j ) (i,j) (i,j)。

JOI 君想在格子里搭一些帐篷。每座帐篷必须占据刚好一个格子。没有两座帐篷会占据同一个格子。

每座帐篷在东、南、西、北四个方向之一有一个出入口。帐篷的出入口朝向必须满足以下条件：

如果格子 ( i 1 , j ) 和 ( i 2 , j ) ( 1 ≤ i 1 < i 2 ≤ H , 1 ≤ j ≤ W ) (i_{1},j) 和 (i_{2},j)(1\le i_{1} < i_{2}\le H,1\le j\le W) (i1,j)和(i2,j)(1≤i1<i2≤H,1≤j≤W) 上都有帐篷，那么格子 ( i 1 , j ) (i_{1},j) (i1,j) 上的帐篷出入口必须朝南，而格子 (i_{2},j) 上的帐篷出入口必须朝北。
如果格子 ( i , j 1 ) 和 ( i , j 2 ) ( 1 ≤ i ≤ H , 1 ≤ j 1 < j 2 ≤ W ) (i,j_{1}) 和 (i,j_{2})(1\le i\le H,1\le j_{1} < j_{2}\le W) (i,j1)和(i,j2)(1≤i≤H,1≤j1<j2≤W) 上都有帐篷，那么格子 ( i , j 1 ) (i,j_{1}) (i,j1) 上的帐篷出入口必须朝东，而格子 ( i , j 2 ) (i,j_{2}) (i,j2) 上的帐篷出入口必须朝西。
JOI 君想知道在露营地上搭起至少一顶帐篷的合法方案数。两种方案被认为是不同的，当且仅当有至少一个格子的状态（即是否存在帐篷或帐篷出入口的朝向）不同。

任务
给出露营地的相关信息，请求出在露营地上搭起至少一顶帐篷的合法方案数，对 1000000007 取模。

输入格式
仅一行两个以空格分开的整数 H 和 W，表示 JOI 君经营的露营地有 H 行 W 列。

输出格式
输出一行，仅一个整数，表示在露营地上搭起至少一顶帐篷的合法方案数对 1000000007 取模的余数。

分析：如果某一行有两顶帐篷，这两顶帐篷出口必须东西相对，那么这两顶帐篷所在的列不可能有其它帐篷（因为要求出口南北相对）。基于此，可以进行一个dp：

假设我们从上往下一行一行放帐篷。设大小为 ( i , j ) (i,j) (i,j)的营地的方法为 f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j]
在计算 f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j]时，不妨分类讨论：
（1）这一行是空的。这种情况有 f [ i − 1 ] [ j ] f[i-1][j] f[i−1][j]种放法。
（2）这一行只有一顶帐篷，且这顶帐篷所在列也只有一顶帐篷。我们先把这一行的帐篷放好，有 4 ∗ j 4*j 4∗j种放法（算上方向）。那么这顶帐篷所在行列都不能放帐篷了，剩下 i − 1 i-1 i−1行和 j − 1 j-1 j−1列，因此总放法为 4 ∗ j ∗ f [ i − 1 ] [ j − 1 ] 4*j*f[i-1][j-1] 4∗j∗f[i−1][j−1]。
（3）这一行有一顶帐篷，且这一列的前面某行也有一顶帐篷，这两顶帐篷南北相对。这一顶帐篷的放法有 j j j种，前面行帐篷的方法有 i − 1 i-1 i−1种。把这两顶帐篷放好后，这两行一列就不能再放帐篷，剩下的放法为 f [ i − 2 ] [ j − 1 ] f[i-2][j-1] f[i−2][j−1]。因此总贡献为 j ∗ ( i − 1 ) ∗ f [ i − 2 ] [ j − 1 ] j*(i-1)*f[i-2][j-1] j∗(i−1)∗f[i−2][j−1]。
（4）这一行有两顶帐篷，则帐篷所在的两列不能有其它帐篷。同理，总贡献为 j ( j − 1 ) 2 f [ i − 1 ] [ j − 2 ] \frac{j(j-1)}{2}f[i-1][j-2] 2j(j−1)f[i−1][j−2]。

注意这样算出的结果可能全空，因此最后答案要减1。

代码：

#include<stdio.h>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define mod 1000000007
using namespace std;
typedef long long ll;
int read() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0' && ch<='9') {x=10*x+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;
}
const int Size=3005;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int MOD=10007;
int n,m,dp[Size][Size];
int main() {n=read();m=read();for(int i=0; i<=n; i++)  dp[i][0]=1;for(int i=0; i<=m; i++)  dp[0][i]=1;for(int i=1; i<=n; i++) {for(int j=1; j<=m; j++) {dp[i][j]=dp[i-1][j];dp[i][j]=(dp[i][j]+4ll*j%mod*dp[i-1][j-1]%mod)%mod;if(j>=2)  dp[i][j]=(dp[i][j]+(ll)j*(j-1)/2%mod*dp[i-1][j-2]%mod)%mod;if(i>=2)   dp[i][j]=(dp[i][j]+(ll)j*(i-1)%mod*dp[i-2][j-1]%mod)%mod;}}printf("%d",(dp[n][m]-1+mod)%mod);return 0;
}

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