[数论] EXBSGS（拔山盖世算法）

exBSGS

简单回顾，方程式为Ax≡BmodPA^x\equiv B\ mod\ PAx≡B mod P

首先，我们知道了如何n\sqrt nn 处理当 A,PA,PA,P 互质的情况。但是，如何推广到 PPP 为任意正整数的情况呢？这就是exBSGSexBSGSexBSGS了。

讲解

方程写为等式形式：Ax+kP=BA^x+kP=BAx+kP=B
此时，gcd(A,P)!=1gcd(A,P)!=1gcd(A,P)!=1，设其为 t=gcd(A,P)t=gcd(A,P)t=gcd(A,P)，那么若 BBB不整除 ttt 则方程无解。

将 ttt 除掉，化为：AtAx−1+kPt=Bt\frac{A}{t}A^{x-1}+k\frac{P}{t}=\frac{B}{t}tAAx−1+ktP=tB

那么一直除 gcd(A,P′)gcd(A,P')gcd(A,P′) 直到 gcd(A,P′)=1gcd(A,P')=1gcd(A,P′)=1 为止。

而上面的式子在迭代互质，除掉 ∏ti\prod ti∏ti 后可以用普通BSGS做。然后还原回去就行了。

Code:

map<LL, LL> Map;
inline void ExBsGs()
{A %= P; B %= P;if (B == 1){printf("0\n");return ;}Map.clear();LL m = ceil(sqrt( P ));LL At = 1, t = Gcd(A, P), tot = 0;while (t ^ 1){if (B % t){printf("No Solution\n");return ;}tot ++;B /= t; P /= t;At = At * A / t % P;if (B == At){printf("%lld\n", tot);return ;}t = Gcd(A, P);}LL Ans = B;Map[Ans] = 0;for (Int i = 1; i < m; ++ i){Ans = (Ans * A) % P;Map[Ans] = i;}LL Y = QuickPow(A, m); Ans = At;for (Int i = 1; i <= m; ++ i){Ans = Ans * Y % P;if ( Map[Ans] ){LL S = i * m - Map[Ans];printf("%lld\n", S + tot);return ;}}printf("No Solution\n");

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