笔记：基本的世代交叠模型

设像戴蒙德模型中的一样，LtL_tLt个两期存活的个人在t时刻出生，并且Lt=(1+n)Lt−1L_t=(1+n)L_{t-1}Lt=(1+n)Lt−1。设效用函数为对数形式且没有贴现，即Ut=ln(C1,t)+ln(C2，t+1)U_t=ln(C_{1,t})+ln(C_{2，t+1})Ut=ln(C1,t)+ln(C2，t+1)。
最大化效用
Ut=ln(C1,t)+ln(C2，t+1)U_t=ln(C_{1,t})+ln(C_{2，t+1})Ut=ln(C1,t)+ln(C2，t+1)
预算约束
C1,t+Ft=AC2,t+1=xFtC_{1,t}+F_t=A\\ C_{2,t+1}=xF_tC1,t+Ft=AC2,t+1=xFt
其中FtF_tFt 为第一期储蓄。
预算约束可以整合为
C1,t+C2.t+1/x=AC_{1,t}+C_{2.t+1}/x=AC1,t+C2.t+1/x=A
则拉格朗日函数为
L=ln(C1,t)+ln(C2，t+1)+λ(A−C1,t−C2.t+1/x)\mathcal{L}=ln(C_{1,t})+ln(C_{2，t+1})+\lambda(A-C_{1,t}-C_{2.t+1}/x)L=ln(C1,t)+ln(C2，t+1)+λ(A−C1,t−C2.t+1/x)
一阶条件为
1C1,t=λ1C2,t+2=λx\frac{1}{C_{1,t}}=\lambda\\\frac{1}{C_{2,t+2}}=\frac{\lambda}{x}C1,t1=λC2,t+21=xλ
即
C2,t+1=xC1,tC_{2,t+1}=xC_{1,t}C2,t+1=xC1,t
代入原约束得
C1,t=A/2C2,t+1=xA/2C_{1,t}=A/2\\C_{2,t+1}=xA/2C1,t=A/2C2,t+1=xA/2

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