§1.6 行列式按行(列)展开

在nnn阶行列式中，把(i,j)(i,j)(i,j)元aija_{ij}aij所在的第iii行和第jjj列划去后，留下来的n−1n-1n−1阶行列式叫做(i,j)(i,j)(i,j)元aija_{ij}aij的余子式。记作MijM_{ij}Mij；记
Aij=(−1)i+jMij,A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij},Aij=(−1)i+jMij,
AijA_{ij}Aij叫做(i,j)(i,j)(i,j)元aija_{ij}aij的代数余子式。

引理

一个nnn阶行列式，如果其中第iii行所有元素除(i,j)(i,j)(i,j)元aija_{ij}aij外都等于零，那么这个行列式等于aija_{ij}aij与它的代数余子式的乘积，即
D=aijAij.D=a_{ij}A_{ij}.D=aijAij.

定理

(行列式按行(列)展开法则)行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
D=ai1Ai1+ai2Ai2+⋯ainAin  (i=1,2,⋯ ,n),D = a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+ \cdots a_{in}A_{in}\:\: (i = 1,2,\cdots,n), D=ai1Ai1+ai2Ai2+⋯ainAin(i=1,2,⋯,n),
或
D=a1iA1i+a2iA2i+⋯aniAni  (i=1,2,⋯ ,n).D = a_{1i}A_{1i}+a_{2i}A_{2i}+ \cdots a_{ni}A_{ni}\:\: (i = 1,2,\cdots,n). D=a1iA1i+a2iA2i+⋯aniAni(i=1,2,⋯,n).

推论

行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即
ai1Aj1+ai2Aj2+⋯ainAjn  (i  j=1,2,⋯ ,n,  i≠j)=0,a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+ \cdots a_{in}A_{jn}\:\: (i\:\: j= 1,2,\cdots,n,\:\: i\neq j)=0, ai1Aj1+ai2Aj2+⋯ainAjn(ij=1,2,⋯,n,i̸=j)=0,
或
a1iA1j+a2iA2j+⋯aniAnj  (i  j=1,2,⋯ ,n,  i≠j)=0.a_{1i}A_{1j}+a_{2i}A_{2j}+ \cdots a_{ni}A_{nj}\:\: (i\:\:j = 1,2,\cdots,n,\:\:i\neq j)=0. a1iA1j+a2iA2j+⋯aniAnj(ij=1,2,⋯,n,i̸=j)=0.

性质

代数余子式的重要性质:
∑k=1nakiAkj=Dδij={D,当i=j0,当i≠j\sum^{n}_{k=1}{a_{ki}A_{kj}} = D\delta_{ij} = \left\{ \begin{array}{rcl} D,&&当i=j \\ 0,&&当i\neq j \\ \end{array} \right. k=1∑nakiAkj=Dδij={D,0,当i=j当i̸=j
或
∑k=1naikAjk=Dδij={D,当i=j0,当i≠j\sum^{n}_{k=1}{a_{ik}A_{jk}} = D\delta_{ij} = \left\{ \begin{array}{rcl} D,&&当i=j \\ 0,&&当i\neq j \\ \end{array} \right. k=1∑naikAjk=Dδij={D,0,当i=j当i̸=j
其中
δij={1,当i=j0,当i≠j.\delta_{ij} = \left\{\begin{array}{rcl} 1,&&当i=j \\ 0,&&当i\neq j \\ \end{array} \right.. δij={1,0,当i=j当i̸=j.

《线性代数》同济大学第五版笔记

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