[角谷猜想 || 冰雹猜想]的一些瞎想

早上睡醒躺床上不想起来，想到一个好玩的东西：

任意数字，如果是偶数，就除以2；如果是奇数，乘以一个奇数o并加一（奇数乘以奇数必定是奇数，加一变偶数）；反复进行这个步骤，最后这个动荡的数列会不会收敛呢？

（偶数除以2的极限结果必然是偶数2或任意一个奇数，如果是偶数2，那么它除以2下一步就是奇数1，并开始一个循环m-n-1-m-n-1）

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>角谷猜想

出于好奇心，我上网查了一下，是有人想过这个问题的，只不过把奇数o设为定值3，也被叫做冰雹猜想||角谷猜想：

对于任意一个数n(n>0):
1)如果它是偶数，将它除以2
2)如果它是奇数，将它乘以3并加一
重复以上步骤，最后这个数字会收敛于1，并重复4-2-1-...的过程

用程序验证这个某个数是否符合这个猜想：

 public static void main(String[] args){jiaogu(17);}private static int jgCount=0;public static void jiaogu(int a){System.out.println(jgCount++ +":"+a);if(a<=1 || jgCount>=9999999)return ;if(a%2==0){a/=2;}else{a=3*a+1;//奇数o为3}jiaogu(a);}

用程序直接暴力验证猜想:

 public static void checkJiaogu(int TOP){//检验[1,top]范围内的数是否符合角谷猜想int top=TOP;int tryTime=100000;for(int i=2;i<=top;i++){int a=i,j=0;for(j=0;j<tryTime;j++){if(a==1)break;else{if(a%2==0){a/=2;}else{a=3*a+1;}}}if(j!=tryTime){//成功归一if(i==top){System.out.println("Success checking number [1,top].");}}else {System.out.println("Failed at number: "+i+"after trying "+tryTime+" times.");break;}}}

观察这个猜想，其要点(进一步的推论)有两个：

a)从数字n(n>0)出发，经过任意个步骤，必然不能回到数字n，即不能有自循环；

b)从数字n(n>0)出发，经过任意个步骤，数列必然收敛不会发散，无法朝着无限大的方向前进，即必然自封闭。

看着好像很简单，然而看了看相关资料，没有一个数学家能证明出来_(:зゝ∠)_

那算了，我一个程序员，果断放弃。

不过...玩玩还是可以的。

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>分析

这个猜想最诱人的一点是，观察2)可知，数列收敛到1，必定是在数列中的某个数字碰触到2^n(1 2 4 8 16 32 64....)中的任意一个数字；而2^n这个数列的长度是无限长的，说明数列在游走过程中，“很可能”碰触到这个数字，进而导致收敛。看着似乎非常容易证明。

因此问题被转化为:

是否能找到一个m，使得3*n+1=2^m成立,(m>=1;n为奇数;m、n均为正整数)

对任意奇数n，显然上式并不能恒成立。因此，求其等价，即3*n属于奇数域O，使得其成立。使得上面式子成立的奇数域应该为O:{4^k-1,k为大于等于1的正整数}

为什么是4^k-1呢？因为显然4^k属于数列2^m，3*n属于O,则上式必成立。

此时又有一个先决条件，是否对于每个整数n，3*n都能属于O?即4^k-1是否整除3？

答案是肯定的：

问题又被归结于：数列在动荡时，是否能碰触到一个数字n，这个数字n属于 奇整数集O':{(4^k-1)/3,k为大于等于1的正整数}

这时候问题从碰触到2^k长度的尺寸上一下缩小到了2^(k-1)(4^k是2^k的一半)的长度尺寸上，看着就没原来那么容易解了_(:зゝ∠)_

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>程序员眼中的数列与o=3

用同样的思路去处理任意奇乘数o,发现每次要碰触到的长度尺寸会缩减为2^[k-(o-1)/2]，如o=3时为2^(k-1)，o=5时为2(k-2)....尺寸一点一点被缩小，也就是说越来越难收敛...

对于一般数列，同样的道理，o=5时，必定要遇上O(5)={16^k-1,..};o=7时，必定要遇上O(7)={64^k-1,...}，即O(o)={[2^(o-1)]^k-1,...} (O(o)/o必为整数，证明方法同上)

可能的范围越来越小，在o趋向极大时，要使数列最终会变成收敛为一个数1时，从n出发必定会遇上一个极大数MaxO(因为MaxO必定要比o大上非常多倍，但并不唯一)。这就非常玄学和难证了。

仅考虑o=3的情况，经过数列演变，要证明角谷猜想，就是要证明为什么[O(3)/3](或者说4^k)一定在数列之中，而且是对所有出发数字都成立。

例如:从n=17出发，经1) 、2)步骤的数列：(5属于O(3)/3={4^k-1,...}，即(4^2-1)/3)

17 52 26 13 40 20 10 [5] (16) 8 4 2 1 4 2 1 4 2 1....

那么问题又来了....作为程序员，我看到的问题又变成了这样：面对一个程序黑盒，已知输入与输出，证明黑盒中必过已知节点。我来解释一下这个说法，输入就是出发数n，输出就是归一数1，必过的节点就是O(3)/3。

从逻辑出发，角谷过程是下面两个语句：

if(a%2==0)a/=2;
else a=3*a+1;

这两个语句决定了黑盒中的程序走向，编程对比这个走向：

 public static void checkProcess(int TOP){//输出[0,TOP]范围内的程序走向int top=TOP;int tryTime=100000;for(int i=2;i<=top;i++){int a=i,j=0;System.out.print(i+" : ");for(j=0;j<tryTime;j++){if(a==1)break;else{if(a%2==0){a/=2;System.out.print("L");//程序走向}else{a=3*a+1;System.out.print("R");}}}System.out.println();if(j!=tryTime){//成功归一if(i==top){System.out.println("Success checking number [1,"+top+"].");}}else {System.out.println("Failed at number: "+i+"after trying "+tryTime+" times.");break;}}}

输出结果：

遇到RLLLL就是遇到数列"5 16 8 4 2 1"了。要想具体从RLRLRLR之类的数列中总结出规律，我觉得....不可能吧...

所以民科什么的，算了吧...

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