005永磁同步电机的数学模型：写了很久，非常适合零基础的同学学习参考

要实现对永磁同步电机的控制，第一步就是建立其数学模型；

因为数学模型能够准确的表示出各个参数之间的关系；

所以建立一个合适的模型是实现精准控制的基础；

因此把电机的建模放在了第一位；

永磁同步电机的数学模型包括什么呢？

电压方程、磁链方程、转矩方程等等。

大家都知道永磁电机是一个非线性的系统；

各种变量参数之间的关系及其相应的计算也较为复杂，

因此，通过对坐标进行变换，从而保证坐标变换前后电流矢量的不变，

以达到对坐标系进行简化的目的，

简化之后的坐标系相比简化之前结构更简单，

计算量更少，控制更容易，可以增强对系统的控制。

常见的坐标系表示方法有：

A-B-C坐标系、α-β坐标系、d-q坐标系。

在建模之前需要做一些假设：

1.定子绕组为 Y 型联接，三相绕组对称分布，轴线互差 120°;

2.忽略铁芯饱和效应，不计涡流和磁滞损耗；

3.永磁磁场和电枢磁场在气隙中均为正弦分布；

4.稳态运行时，相绕组中感应电动势波形为正弦波；

5.电机长时间工作受到温度和频率影响不计；

6.把电机具有的高次谐波进行忽略，并对转子上的阻尼绕组不参加计算；

A-B-C坐标系的数学模型：

这种坐标系就是三相静止坐标系。这种坐标系下的PMSM三相定子绕组的轴线彼此相差，电机的电压、电流以及磁链分量就是三相的实际分量，因为这种坐标系下三者是对称分布的，因此要想得到在同步角频率下旋转的合成矢量，就必须通以互差120°的正弦电流。

电压方程：

磁链方程：

由理想电机的三相绕组是对称分布的可知，

同时 Y 型连接的三相绕组电流满足：

iA+iB+iC=0

将式上面的三个公式联立可将磁链方程化为：

将上式带入电压方程得：

α-β坐标系的数学模型：

这种坐标系就是两相静止坐标系，是将α轴固定，使其在定子A相绕组轴线上保持不动，而β轴相比于α轴超前 90°在坐标系中也同样可以产生类似于A-B-C坐标系下的合成矢量，即通入互差90°的两相交流电。

电机模型从A-B-C坐标系变到α-β坐标系需要经过Clarke变换，

Clarke变换：

通过上式经过Clarke变换后得到电机的电压方程为：

分别为定子电压、电流和磁链在α-β坐标下的分量。

电动势方程的表达式为：

电磁转矩方程如下：

Te为电磁转矩， p为电机极对数。

在α-β坐标系中,经过线性变换使A、B、C三相坐标系中的电机数学模型方程得到一定简化。针对内永磁同步电机,因为转子直、交轴的不对称而具有凸极效应,直轴、交轴电感不相等,即Ld≠Lq，因此,在α-β坐标系中的内永磁同步电机磁链、电压方程是一组非线性方程组,数学模型相当复杂,将该方程组用于内永磁同步电机的分析和控制时也很复杂,一般不采用该坐标系下的电机数学模型。然而,对于具有对称转子结构的表面式永磁同步电机,因为Ld= Lq,电机的数学模型相对简单,可以用于对该电机的分析与控制。但实际上,即便是面装式永磁同步电机,也不能保证Ld= Lq,故在分析永磁同步电机的控制与运行时,一般不用这个模型。在该模型下的运动方程和转矩方程和在A、B、C三相坐标系下的方程相似,运动方程因与电机运动状态有关,不涉及电机的电、磁参量,其表述简单,而转矩方程则相对复杂。

d-q坐标系的数学模型：

坐标系即转子磁链同步旋转坐标系，由正交的d轴和q轴组成，d轴的方向就是转子永磁体磁链方向。d轴和a相绕组轴线之间的夹角为θ。要得到上文中的合成磁动势空间矢量，只要在绕组中加入直流电即可。

Park变换：

通过上式经过Park变换后得到电机的电压方程为：

磁链方程：

式中：

ud、uq——定子电压在 d、q 轴的分量；

id、iq——定子电流在 d、q 轴的分量；

ψd、ψq——定子磁链在d、q 轴的分量；

Ld、Lq——定子绕组 d、q 轴等效电感；

对永磁同步电机的转矩控制主要在d -q坐标系下实现，这里给出此坐标系

下的电机转矩方程：

对于表面式永磁同步电机, 有Ld=Lq, 其数学模型成为:

对于内置式永磁同步电机, 有Ld≠Lq, 其数学模型成为: