最近开始学习电机控制，仅以此记录自己的学习进度。

一、坐标变换

1.1. 三相静止坐标系(abcabcabc)和两相静止坐标系(α/β\alpha/\betaα/β)之间的变换

根据图中所示abcabcabc坐标系和αβ\alpha\betaαβ坐标系之间的关系，可以列出以下等式
Uα=Ua−Ubcos(π3)−Uccos(π3)Uβ=Ubcos(π6)−Uccos(π6)U_\alpha = U_a - U_bcos(\frac \pi3) - U_ccos(\frac \pi3) \\ U_\beta = U_bcos(\frac \pi6) - U_ccos(\frac \pi6) Uα=Ua−Ubcos(3π)−Uccos(3π)Uβ=Ubcos(6π)−Uccos(6π)
化简即可得到abcabcabc坐标系转为αβ\alpha\betaαβ坐标系的变换矩阵，即ClarkeClarkeClarke变换：

(1.1)[UαUβ]=K[1−12−12032−32][UaUbUc]\left[ \begin{matrix} U_\alpha\\ U_\beta\\ \end{matrix} \right]= K\left[ \begin{matrix} 1 & -\frac12 & -\frac12 \\ 0 & \frac {\sqrt3}2 & -\frac {\sqrt3}2 \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} U_a\\ U_b\\ U_c\\ \end{matrix} \right] \tag {1.1} [UαUβ]=K[10−2123−21−23]⎣⎡UaUbUc⎦⎤(1.1)
考虑变换前后的幅值相等，则式中KKK等于23\frac 2332；如果要求变换前后功率等，则式中KKK等于23\sqrt\frac 2332。很多资料都没有详细说明这两种变换的系数是怎么来的，一度让我很疑惑。通过查资料和推导，终于怎么回事了。恒幅值变换是指UαU_\alphaUα的幅值和UaU_aUa相等，而恒功率变换是指变换前后的功率相等，下面给出推导过程。

设三相电压是平衡的，其幅值为UmaxU_{max}Umax，则：
(1.2)[UaUbUc]=Umax[cos(φ)cos(φ−2π3)cos(φ+2π3)]\left[ \begin{matrix} U_a \\ U_b \\ U_c \end{matrix} \right]= U_{max}\left[ \begin{matrix} cos(\varphi) \\ cos(\varphi - \frac {2\pi}3) \\ cos(\varphi + \frac {2\pi}3) \end{matrix} \right] \tag {1.2} ⎣⎡UaUbUc⎦⎤=Umax⎣⎡cos(φ)cos(φ−32π)cos(φ+32π)⎦⎤(1.2)
将式(1.2)(1.2)(1.2)代入式(1.1)(1.1)(1.1)中，可以得到UαU_\alphaUα的表达式如下：
Uα=Umax(cosφ−12cos(φ−2π3)−12cos(φ+2π3)=32cosφU_\alpha = U_{max}(cos\varphi - \frac 12cos(\varphi - \frac {2\pi}3)- \frac 12cos(\varphi + \frac {2\pi}3) = \frac 32cos\varphi Uα=Umax(cosφ−21cos(φ−32π)−21cos(φ+32π)=23cosφ
可见变换后的UαU_\alphaUα幅值是变换前UaU_aUa的1.5倍。因此，为了使UaU_aUa的幅值与UαU_\alphaUα的幅值相等，则需要在变换矩阵前乘以23\frac 2332。

设变换前的电压有效值是UUU，电流有效值是III,则容易得出变换后的有效值是1.5U1.5U1.5U，电流有效值是1.5I1.5I1.5I。可以分别得出变换前后的功率P1P_1P1和P2P_2P2：
P1=U∗I∗3=3UIP2=1.5U∗1.5I∗2=4.5UIP_1 = U*I*3 = 3UI\\ P_2 = 1.5U*1.5I*2 = 4.5UI P1=U∗I∗3=3UIP2=1.5U∗1.5I∗2=4.5UI
可见变换前后的功率不相等，需要给变换矩阵乘以一个系数KKK使其相等。当变换矩阵乘以系数KKK之后，变换前后的功率的表达式如下：
P1=U∗I∗3=3UIP2=1.5∗K∗U∗1.5∗K∗i∗2=4.5K2UIP_1 = U*I*3 = 3UI \\ P_2 = 1.5*K*U*1.5*K*i*2 = 4.5K^2UI P1=U∗I∗3=3UIP2=1.5∗K∗U∗1.5∗K∗i∗2=4.5K2UI
令式中P1=P2P_1 = P_2P1=P2,即可得到K=23K = \sqrt{\frac 23}K=32。

因此，在式(1.1)(1.1)(1.1)中，当K=23K=\frac 23K=32,则为恒幅值变换；当K=23K=\sqrt{\frac 23}K=32,则为恒功率变换。

根据同样的思路，或者可以得到ClarkClarkClark反变换表达式：

(1.3)[UaUbUc]=K[10−1232−12−32]][UαUβ]\left[ \begin{matrix} U_a\\ U_b\\ U_c\\ \end{matrix} \right]= K\left[ \begin{matrix} 1 & 0\\ -\frac 12 & \frac {\sqrt3}2\\ -\frac 12 & -\frac {\sqrt3}2]\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} U_\alpha\\ U_\beta \end{matrix} \right] \tag {1.3} ⎣⎡UaUbUc⎦⎤=K⎣⎢⎡1−21−21023−23]⎦⎥⎤[UαUβ](1.3)
其中，当K=23K=\frac 23K=32,则为恒幅值变换；

当K=23K=\sqrt{\frac 23}K=32,则为恒功率变换。

式(1.1)(1.1)(1.1)中的矩阵和式(1.3)(1.3)(1.3)中的矩阵相乘的结果是单位矩阵。

1.2 两相静止坐标系(αβ\alpha\betaαβ)和两相旋转坐标系(dqdqdq)之间的变换

根据图中所示αβ\alpha\betaαβ坐标系和dqdqdq坐标系之间的关系，可以列出以下等式:
Ud=Uαcosθ+UβsinθUq=−Uαsinθ+UβcosθU_d = U_\alpha cos\theta + U_\beta sin\theta\\ U_q = -U_\alpha sin\theta + U_\beta cos\theta Ud=Uαcosθ+UβsinθUq=−Uαsinθ+Uβcosθ
于是可以得到αβ\alpha\betaαβ坐标系转换为dqdqdq坐标系的变换矩阵，即ParkParkPark变换：

(1.4)[UdUq]=[cosθsinθ−sinθcosθ][UαUβ]\left[ \begin{matrix} U_d\\ U_q \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} U_\alpha \\ U_\beta \end{matrix} \right] \tag {1.4} [UdUq]=[cosθ−sinθsinθcosθ][UαUβ](1.4)

同理，由图中也可以将αβ\alpha\betaαβ坐标系下的向量由dqdqdq坐标表示：
Uα=Udcosθ−UqsinθUβ=Udsinθ+UqcosθU_\alpha = U_dcos\theta - U_qsin\theta \\ U_\beta = U_dsin\theta + U_qcos\theta \\ Uα=Udcosθ−UqsinθUβ=Udsinθ+Uqcosθ
于是可以得到dqdqdq坐标系转换为αβ\alpha\betaαβ坐标系的变换矩阵，即ParkParkPark反变换：
(1.5)[UαUβ]=[cosθ−sinθsinθcosθ][UdUq]\left[ \begin{matrix} U_\alpha \\ U_\beta \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} U_d \\ U_q \end{matrix} \right] \tag{1.5} [UαUβ]=[cosθsinθ−sinθcosθ][UdUq](1.5)

1.3 三相静止坐标系（abcabcabc）和两相旋转坐标系(dqdqdq)之间的变换

结合ClarkeClarkeClarke变换和ParkParkPark变换可以得到abcabcabc坐标系和dqdqdq坐标系之间的变换如下：
(1.6)[UdUq]=K[cosθcos(θ−2π3)cos(θ+2π3)−sinθ−sin(θ−2π3)−sin(θ+2π3)][UaUbUc]\left[ \begin{matrix} U_d \\ U_q \end{matrix} \right]= K\left[ \begin{matrix} cos\theta & cos(\theta - \frac {2\pi}3) & cos(\theta + \frac {2\pi}3) \\ -sin\theta & -sin(\theta - \frac {2\pi}3) & -sin(\theta + \frac {2\pi}3) \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} U_a\\ U_b\\ U_c \end{matrix} \right] \tag{1.6} [UdUq]=K[cosθ−sinθcos(θ−32π)−sin(θ−32π)cos(θ+32π)−sin(θ+32π)]⎣⎡UaUbUc⎦⎤(1.6)
恒幅值变换时，K=23K=\frac 23K=32;恒功率变换时，K=23K = \sqrt {\frac 23}K=32。

其反变换为：
(1.7)[UaUbUc]=K[cosθ−sinθcos(θ−2π3)−sin(θ−2π3)cos(θ+2π3)−sin(θ+2π3)][UdUq]\left[ \begin{matrix} U_a\\ U_b\\ U_c \end{matrix} \right]= K\left[ \begin{matrix} cos\theta & -sin\theta \\ cos(\theta - \frac {2\pi}3) & -sin(\theta - \frac{2\pi}3) \\ cos(\theta + \frac {2\pi}3) & -sin(\theta + \frac{2\pi}3) \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} U_d\\ U_q \end{matrix} \right] \tag{1.7} ⎣⎡UaUbUc⎦⎤=K⎣⎡cosθcos(θ−32π)cos(θ+32π)−sinθ−sin(θ−32π)−sin(θ+32π)⎦⎤[UdUq](1.7)
恒幅值变换时，K＝1K＝1K＝1;恒功率变换时，K=23K = \sqrt {\frac 23}K=32。

二、永磁同步电机的数学模型

2.1 永磁同步电机在三相静止(abc)(abc)(abc)坐标系下的数学模型

永磁同步电机在三相静止坐标系下的磁链方程为
(2.1)[ψaψbψc]=[LaaMabMacMbaLbbMbcMcaMcbLcc][iaibic]+ψf[cosθcos(θ−2π3)cos(θ+2π3]]\left[ \begin{matrix} \psi_a \\ \psi_b \\ \psi_c \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} L_{aa} & M_{ab} & M_{ac}\\ M_{ba} & L_{bb} & M_{bc}\\ M_{ca} & M_{cb} & L_{cc}\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} i_a\\ i_b\\ i_c \end{matrix} \right] + \psi_f\left[ \begin{matrix} cos\theta \\ cos(\theta - \frac {2\pi}3) \\ cos(\theta + \frac {2\pi}3] \end{matrix} \right] \tag {2.1} ⎣⎡ψaψbψc⎦⎤=⎣⎡LaaMbaMcaMabLbbMcbMacMbcLcc⎦⎤⎣⎡iaibic⎦⎤+ψf⎣⎡cosθcos(θ−32π)cos(θ+32π]⎦⎤(2.1)
式中:
ψf\psi_fψf——永磁体磁链；
θ\thetaθ——电机转子磁极位置，即永磁体N极与aaa相轴线之间的夹角；
Laa、Lbb、LccL_{aa}、L_{bb}、L_{cc}Laa、Lbb、Lcc——定子绕组的自感，且在理想情况下，Laa=Lbb=LccL_{aa} = L_{bb} = L_{cc}Laa=Lbb=Lcc;
ψa、ψb、ψc\psi_a、\psi_b、\psi_cψa、ψb、ψc——三相静止坐标系下的定子磁链；
Mab、Mac、Mba、Mbc、Mca、McbM_{ab}、M_{ac}、M_{ba}、M_{bc}、M_{ca}、M_{cb}Mab、Mac、Mba、Mbc、Mca、Mcb——定子三相绕组间的互感。

永磁同步电机在三相静止坐标系下的定子电压方程为：
(2.2)[uaubuc]=[Rs000Rs000Rs][iaibic]+p[ψaψbψc]\left[ \begin{matrix} u_a \\ u_b \\ u_c \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} R_s & 0 & 0 \\ 0 & R_s & 0 \\ 0 & 0 & R_s \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} i_a \\ i_b \\ i_c \end{matrix} \right] + p\left[ \begin{matrix} \psi_a \\ \psi_b \\ \psi_c \end{matrix} \right] \tag {2.2} ⎣⎡uaubuc⎦⎤=⎣⎡Rs000Rs000Rs⎦⎤⎣⎡iaibic⎦⎤+p⎣⎡ψaψbψc⎦⎤(2.2)
式中:
ua、ub、ucu_a、u_b、u_cua、ub、uc——定子三相电压；
RsR_sRs——定子电阻；
ia、ib、ici_a、i_b、i_cia、ib、ic——定子三相电流;
ppp——微分算子，表示对时间的微分。
式(2.2)(2.2)(2.2)的物理意义表明，定子三相电压是由定子电阻上的电压和电感（包括自感和互感）电压相加得来的。

永磁同步电机在三相静止坐标系下的转矩方程为：
(2.3)Te=12pnψf(iacosθ+ibcos(θ−2π3)+iccos(θ+2π3))T_e = \frac 12 p_n \psi_f (i_acos\theta + i_bcos(\theta - \frac {2\pi}3)+i_ccos(\theta + \frac {2\pi}3)) \tag {2.3} Te=21pnψf(iacosθ+ibcos(θ−32π)+iccos(θ+32π))(2.3)
式中：
TeT_eTe——电机的电磁转矩；
pnp_npn——电机的极对数。

电机的运动方程为：
(2.4)Te=TL+Jpndωedt+Bpnωe+KpnθT_e = T_L + \frac Jp_n\frac {d\omega_e}{dt} + \frac B{p_n} \omega_e + \frac K{p_n}\theta \tag {2.4} Te=TL+pJndtdωe+pnBωe+pnKθ(2.4)
式中：
TLT_LTL——负载转矩；
BBB——摩擦系数；
KKK——扭矩系数；
JJJ——转动惯量。
ωe\omega_eωe——电气角速度。与机械角速度的关系是：ωe=pnω\omega_e = p_n\omegaωe=pnω。

2.2 永磁同步电机在两相同步旋转(dq)(dq)(dq)坐标系下的数学模型

永磁同步电机在两相同步旋转坐标系下的电压方程为：
(2.5){ud=Rsid+pψd−ωrψquq=Rsiq+pψq+ωrψd\left\{ \begin{aligned} u_d = R_si_d+p\psi_d-\omega_r\psi_q \\ u_q = R_si_q + p\psi_q +\omega_r\psi_d \end{aligned} \right. \tag{2.5} {ud=Rsid+pψd−ωrψquq=Rsiq+pψq+ωrψd(2.5)
式中：
ud、uq、id、iq、ψd、ψqu_d、u_q、i_d、i_q、\psi_d、\psi_qud、uq、id、iq、ψd、ψq——分别表示定子d轴和q轴的电压、电流、磁通；
ppp——为微分算子，表示对时间的微分；
ωr\omega_rωr——转子的电角速度。

推导过程如下：
根据(1.3)(1.3)(1.3)节中给出的两相旋转坐标系到三相静止坐标系中的变换公式，取A相单独分析，可以得到：

(2.6){ua=K(udcosθ−uqsinθ)ia=K(idcosθ−iqsinθ)ψa=K(ψdcosθ−ψqsinθ)\left\{ \begin{aligned} & u_a = K(u_dcos\theta - u_qsin\theta) \\ & i_a = K(i_dcos\theta - i_qsin\theta) \\ & \psi_a = K(\psi_dcos\theta - \psi_qsin\theta) \end{aligned} \right. \tag{2.6} ⎩⎪⎨⎪⎧ua=K(udcosθ−uqsinθ)ia=K(idcosθ−iqsinθ)ψa=K(ψdcosθ−ψqsinθ)(2.6)
由2.12.12.1节可知，在三相静止坐标系下的A相电压方程为：
(2.7)ua=iaRs+pψau_a = i_aR_s + p\psi_a \tag{2.7} ua=iaRs+pψa(2.7)
将式(2.6)(2.6)(2.6)中的表达式代入式(2.7)(2.7)(2.7)中，整理后可得：
(2.8)(ud−Rsid−pψd+ψqpθ)cosθ−(uq−Rsiq−pψq−ψdpθ)sinθ=0(u_d - R_si_d-p\psi_d+\psi_qp\theta)cos\theta - (u_q-R_si_q - p \psi_q - \psi_dp\theta)sin\theta = 0 \tag{2.8} (ud−Rsid−pψd+ψqpθ)cosθ−(uq−Rsiq−pψq−ψdpθ)sinθ=0(2.8)
位置角度θ\thetaθ的微分便是旋转角速度，即：
(2.9)pθ=ωrp\theta = \omega_r \tag{2.9} pθ=ωr(2.9)
对于式(2.8)(2.8)(2.8)来说，由于位置角度θ\thetaθ为任意值，因此下列两个式子分别成立：
{ud=Rsid+pψd−ωrψquq=Rsiq+pψq+ωrψd\left\{ \begin{aligned} u_d = R_si_d+p\psi_d-\omega_r\psi_q \\ u_q = R_si_q + p\psi_q +\omega_r\psi_d \end{aligned} \right. {ud=Rsid+pψd−ωrψquq=Rsiq+pψq+ωrψd
推导完毕。

磁链方程为：
{ψd=Ldid+ψfψq=Lqiq\left\{ \begin{aligned} &\psi_d = L_di_d+\psi_f \\ &\psi_q= L_qi_q \end{aligned} \right. {ψd=Ldid+ψfψq=Lqiq

转矩方程为：
Te=Kpn[ψfiq+(Ld−Lq)idiq]T_e = Kp_n[\psi_fi_q + (L_d-L_q)i_di_q] Te=Kpn[ψfiq+(Ld−Lq)idiq]
当K=32K=\frac 32K=23,则为恒幅值变换；当K=1K=1K=1,则为恒功率变换。

在三相坐标系下的复杂的电感耦合关系，在DQ坐标系下不复存在。但LdL_dLd和LqL_qLq与三相坐标系下的各种电感关系还没有理清楚。

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