第二讲

1、数据类型

整数、

浮点数与精度函数realmin、realmax 、eps、

intmax和intmin

字符型

逻辑型

complex()

复数的虚部和实部imag()、real()

复数的模、辐角和共轭复数abs()、angle ()、conj ()

2、数据结构

矩阵、多维数组

字符串与字符串矩阵

单元数组 (cell array)：cell(m, n)、按单元索引法、按内容索引法、celldisp()函数、 cellplot(b)、删除、内容获取变维处理 reshape()

结构体：struct()、查询、删除、调用成员变量

3、基本运算

关系运算：小于(<)、小于或等于(< =)、大于(>)、大于或等于(> =)、等于(= =)和不等于(~ =)

逻辑运算：&、&&、|、|| 和~、逻辑“异或”，即“XOR

关系与逻辑函数：

标点符号的使用

第三讲　向量、数组和矩阵

1 向量、数组与矩阵的创建

a=i:k:j、linspace()函数、logspace(a,b,n)

转置、点转置、适用于向量的常用函数

直接输入法、数列生成法、矩阵合成法、矩阵重构法、函数生成法(zeros,ones, eye,rand,randn,diag,triu,tril)、文件载入法（load, xlsread, csvread, …）

2 向量、数组和矩阵的寻址与赋值

下标索引、双下标、冒号表达式选择行、列或数组元素、end关键字

矩阵元素的删除

创建任意数q为底的等比数列：

a=ones(n,1);
a(2:end)=q;
b=cumprod(a);

3 标准矩阵与特殊矩阵

全1矩阵 ones()、全0矩阵zeros()、随机矩阵 rand()、 randn()

随机整数序列的生成

单位矩阵eye()、对角矩阵diag(v,k)

4 基本的四则运算

向量与数的加法(减法)、乘法(除法)

矩阵的乘法、除法

5 向量、数组和矩阵的其他运算

向量、数组的乘方运算：power()函数c = a.^k= c = power(a,k)

矩阵的乘方与mpower()函数

求极小值与极大值

求和sum()、求积prod()、

第四讲 MATLAB程序设计

1 程序结构

顺序结构、分支结构和循环结构

2 循环程序

for循环：for variable = values　 commands　end

键盘输入函数为input（）

while 循环：

while expression  commands　
end

break语句、 continue语句

3 分支结构

if…end、if…else…end、if…elseif…else…end

switch开关结构

switch  expression　     case expression_1　　        commands_1　　     case  expression_2 　        commands_2　        ...　     otherwise        commandsend

第五讲 M脚本与M函数

1 使用M文件编程

2 M函数

function f = fact(n)
#函数定义语句　　
% Compute a factorial value.            H1行　　
% FACT(N) returns the factorial of N,       帮助文本　　
% usually denoted by N!　　
% Put simply, FACT(N) is PROD(1:N).     注释语句　　
f = prod(1:n);                                 %函数体

块注释 :“%{”和“%}”符号进行块注释

代码元胞 :“%%”为开始标志

M文件的命名规则

局部变量

全局变量：global 变量名1 变量名2

永久变量：persistent 变量名1 变量名2

3 函数的调用与函数句柄

匿名函数：fhandle = @(arglist) expr

获取函数的输入、输出参量数目：nargin()和nargout()

4 函数编程的实例

第六讲图形绘制

5.1 绘制二维图

绘制二维线性图plot()

stem()绘制离散图形

对数图loglog()、semilogx()、semilogy()

polar()绘制极坐标图

5.2 常用图形的绘制

绘制直线line()函数

绘制矩形rectangle()函数

绘制偏差条图形errorbar()函数

绘制直方图与其正态分布曲线：hist()函数、rose()函数极坐标系中绘制直方图

填充图与面积图：fill()函数、area()函数

5.3 三维图形绘制

plot3()函数绘制三维曲线

mesh()：mesh()函数可以绘制出在某一区间内完整的网格曲面

surf()函数：surf()函数可以绘制三维曲面图

meshgrid()函数：为3D绘图生成X、Y矩阵

meshc()和meshz()函数：meshc()与mesh()函数的调用方式相同，只是该函数在mesh()的基础上又增加了绘制相应等高线的功能。

彗星图：comet()、comet3()可用来绘制2D和3D彗星图

5.4 绘图控制

图形窗口的创建：figure

指定图像位置和大小

图形保持与多重线绘制： hold on，plot(x1,y1,x2,y2,…,xn,yn)

子图控制与subplot()函数：subplot(m,n,p)

使用legend命令或函数添加图例

坐标轴的控制函数axis()、xlim()、ylim()、zlim()函数

5.5 特殊图形的绘制

绘制二维柱状图：bar()和barh()

绘制三维柱状图：bar3()和bar3h()

绘制阶梯图形：stairs()

方向和速度矢量图形：compass()

罗盘图的绘制：compass()

羽状图的绘制：feather()

矢量图的绘制：quiver()和quiver3()

等值线的绘制：

饼形图：pie()函数和pie3()函数

第七讲-1特殊图形的绘制

1 柱状图绘制

2 结题图形绘制

3 方向和速度矢量图

4 等值线绘制

5 三位旋转图形绘制

第七讲-2误差理论

1 误差的来源

模型误差 、观测误差、截断误差、舍入误差

2 误差表示法

3 误差的积累与传播

4 工程计算中应注意的问题

5 MATLAB数据精度控制

第八讲符号运算

8.1 符号对象

符号变量、符号矩阵、符号表达式和符号方程

sym()和syms()函数建立符号表达式

8.2 数值与符号变量的相互转换

digits()：digits(n)：设置有效数字位数

vpa()：vpa(f)将符号表达式f的结果精确到digits()所设定的有效数字的位数

double()：double()是将符号表达式转换为浮点数数值变量类型的函数

**poly2sym()**函数与多项式的符号表达式

8.3 符号矩阵与运算

符号矩阵的索引和修改：

符号矩阵的索引：

符号矩阵的修改

8.4 符号表达式的化简

合并多项式：collect()

展开多项式：expand()

转换多项式：horner()

化简函数：simplify()

因式分解：factor()

分式通分：[B.A]=numden(F)、

符号替换：subs() 函数、subexpr() 函数

8.5 符号微积分

符号表达式求极限：limit()函数

符号导数、微分和偏微分：diff()函数

多元函数的导数与 jacobian() 函数

计算不定积分、定积分：int()函数

8.6 符号方程与求解

解代数方程：solve()

代数方程组的符号解法：solve()函数

常微分方程的解析解：使用dsolve()函数进行求解

微分方程组的求解：dsolve()函数

8.7 符号函数图形绘制

符号函数二维绘图函数 ：fplot()

符号函数三维绘图函数 ：fplot3()

符号函数曲面网格图及表面图的绘制：fmesh()、fsurf() 函数

第九讲非线性方程（组）求解

9.1 二分法

9.2 简单迭代法

9.3 牛顿法

9.4 非线性方程组的求解

MATLAB优化工具箱提供了两个函数： fzero() 和 fsolve() 函数，分别用来求解非线性方程和非线性方程组的根。

1、fzero() 函数

作用：求解单变量非线性方程的根。

调用格式： [x, fval, exitflag, output] = fzero(fun,x0,options, p1,p2,…)

2、fsolve（）作用：求解多变量非线性方程组的根。

调用格式： [x,fval, exitflag, output, jacobian] = fsolve(fun,x0,options, p1,p2,…)

第十讲线性方程（组）求解

10.1 消去法

10.1.1 GAUSS 消去法

10.1.2 追赶法

10.2 矩阵分解法

10.2.1 LU 分解

MATLAB 提供了矩阵的 LU 分解函数 lu()，该函数的调用格式为

[L,U]=lu(A) %格式 1

[L,U，P]=lu(A) %格式 2

其中格式 1 的输入参数与输出参数的关系满足关系式其中为单位下三角阵，为单位上三

角阵；

格式 2 中的为单位矩阵的行变换矩阵（因为 MATLAB 提供的 lu()函数使用了部分选主元算法），这

里的输入参数和输出参数满足关系 LU=PALU=PALU=PA

10.2.2 Cholesky 分解

10.3 方程组的性态与误差分析

10.3.1 范数

MATLAB 提供了函数 **norm()**来求向量的范数，该函数的调用格式为：

norm（x,p）其中 x 为向量，p 为范数的类型，可以为任意实数或者 inf，表示求取向量 x 的 p-范数。

MATLAB 提供的求解矩阵范数仍是 norm（）函数，不同在与 p 的取值限定为 1，2 和 inf, ‘fro’

10.3.2 矩阵的条件数

10.3.3 病态方程组的求解

MATLAB 中提供的实现矩阵的奇异值分解的函数时 svd(),该函数的调用格式为：

[U,S,V]=svd(A)

10.4 线性方程组的 MATLAB 函数求解

（ 1 ）恰定方程组

MATLAB 主要提供的求解指令主要有三个

1）逆矩阵法：x=inv(A)*b(或 x=A^(-1)*b)

伪逆法：x=pinv(A)*b

3）左除法：x=A\b 4) 符号矩阵：x=sym(A)\sym(b)

说明：

1）通常情况下，利用逆矩阵法和左除法求得的均是数值解，若要得到其解析解，则要将数值矩阵转化

为符号矩阵

2）左除法比逆矩阵法具有更好的数值稳定性，更快的运算速度，而且左除法还适合不是方阵的情形

（ 2 ）欠定方程组

欠定方程组的解由其对应的齐次方程的通解和它本身的一个特解构成，记作

。MATLAB 求方程通解的指令是 null()，其具体的使用方法为

z=null(sym(A))，该函数也同样可以用于数值解的问题，其中 z 的列数为 n-rank**（****A)**，其各列构成的

向量称为矩阵的基础解系。求方程的一个特解只需要左除法即可。

（ 3 ）超定（矛盾）方程组

因为超定方程组一般意义下无解析解，所以不能用符号矩阵出发来求解方程组，而只能求其最小二乘

解，这也可以通过左除法或伪逆法来实现。

function [x,e]=Linear_equation(A,b)
% 线性方程组的求解
% 输入参数：
%       ‐‐‐A：方程组的系数矩阵
%       ‐‐‐b：方程组的右端向量
% 输出参数：
%       ‐‐‐x：方程组的解
%       ‐‐‐e：解的误差
[m,n]=size(A);
r1=rank(A);
r2=rank([A b]);
if r1==r2if r1==ndisp('方程组是恰定的，有唯一解！')x=A\b;e=norm(A*x‐b);elsedisp('方程组是欠定的，有无穷解！')z=null(sym(A));   %解出规范化的化零空间x0=sym(A)\sym(b);  %求出一个特解colnum = size(z,2);k =[];for i = 1:colnumk = [k sym(['k' num2str(i)])];endx = z*k+x0;e=norm(A*x‐b);   %检验解的准确性end
elsedisp('方程组是超定的，只有最小二乘意义下的解！')x=A\b;e=norm(A*x‐b);
end

第十一讲插值

11.1 插值概述

11.2 Lagrange插值

11.3 Newton插值

11.4 Hermite插值

11.5 分段低次插值

11.5.1 分段线性插值

MATLAB提供了函数interp1()可以实现分段线性插值功能，调用方法如下：

y=interp1(x,y,xi,'linear')

11.5.2 分段插值

MATLAB提供了函数**pchip()**来求解分段三次Hermite插值，该函数的调用格式有以下两种：

yi=pchip(x,y,xi)%格式一pp=pchip(x,y)%格式二

其中，输入参数的含义同interp1()函数，格式2中的返回值pp是一个结构体数组，需要调用ppval()函数来计算各因

变量的数值。

说明：

(1)语句“yi=ppval(pp,xi)"可以实现与格式一相同的功能；

(2)函数pchip()的效果等同于yi=interp1(x,y,xi,‘pchip’)或yi=interp1(x,y,xi,‘cubic’)。

11.6 三次样条插值

MATLAB提供函数spline()求解三次样条插值问题，该函数的一般调用格式有两种：

yi=spline(x,y,xi)%格式一pp=spline(x,y)%格式二

其中各参数的含义同函数pchip()

说明：

(1)语句“yi=ppval(pp,xi)"可以实现与格式一相同的功能；

(2)函数spline()的效果等同于yi=interp1(x,y,xi,‘spline’)。

11.7 二维插值

11.7.1 网格节点插值

对于网格节点的插值，MATLAB提供了函数**interp2()**求解，其具体调用格式如下：

zi=interp2(x,y,z,xi,yi,method)%格式一zi=interp2(x,y,z,xi,yi,method,extrapval)%格式二

其中，x和y是长度分别为M和N的向量，对应着已知点(xi,yi)(x_i,y_i)(xi,yi) ，z是一个矩阵，对应

于 Zi,j(i=0,1,2,3...,n)Z_{i,j}(i=0,1,2,3...,n)Zi,j(i=0,1,2,3...,n)，其他参数的含义基本同interp1()函数。

11.7.2 散乱节点插值

MATLAB提供函数**griddate()**来求解散乱节点插值问题，该函数的调用格式为：

zi=griddata(x,y,z,xi,yi,method)

其中,x,y和z是给定的节点数据，xi和yi通常是规则的网格点，method表示可供选择的插值法，包括以下几种：

⋅’linear‘—基于三角形的线性插值（默认值）

⋅’cubic’—基于三角形的三次插值；

⋅‘nearest’—最邻近插值；

⋅’v4’—MATLAB中的griddata算法。

第十二讲函数逼近与数据拟合

12.1 函数的最佳平方逼近

12.2 数据的最小二乘拟合

12.2.1 最小二乘法

12.2.2 多元最小二乘拟合

12.2.3 数据拟合的MATLAB函数求解

1.线性拟合

MATLAB最优化工具箱提供了函数 lsqlin() 求解上述问题，下面用一个实例说明该函数的使用方法。

2. 多项式拟合

在最小二乘拟合中，当拟合基函数选取幂函数类时，相应的拟合称为多项式拟合。

MATLAB提供的 polyfit() 函数是专门用来求解多项式拟合的函数，其调用格式为：

[p,S]=polyfit(x,y,n) %格式1 [p,S,mu]=polyfit(x,y,n) %格式2

其中格式1是一般的多项式拟合，格式2是对x归一化处理后的多项式拟合，等价格式为：

[p,S]=polyfit((x-mean(x))/std(x),y,n)

x，y是输入的实验数据；mean(x)返回向量x的平均值，std(x)返回向量x的标准差，n是拟合计算用到的多项式的阶数；返回值p是拟合多项式系数；S是用来估计误差和预测数据的结构体；mu是由均值和标准差构成的1x2向量，即mu=[mean(x),std(x)]。

与 polyfit() 函数配合使用的函数是 polyval()，这个函数是根据拟合出来的多项式系数p计算给定数据x处的y值。

其调用格式如下：

[Y,DELTA]=polyval(p,X,S)[Y,DELTA]=polyval(p,X,S,mu)

其中X是给定的需要计算拟合值的向量；p，S，mu是polyfit()函数的返回值；返回值Y是根据p计算出来的X处的多

项式的值；DELTA是利用结构体S计算出来的误差估计，Y的95%置信区间为[Y-DELTA,Y+DELTA]，当DELATA

缺省时，S可以为’[]’

3. 非线性拟合

在最小二乘拟合中，若要寻求的函数**f(x)**是任意的非线性函数，则称为非线性最小二乘拟合，由该定义可知多项

式拟合是一种特殊的非线性拟合。

MATLAB最优化工具箱中提供了 lsqcurvefit() 函数，可以解决非线性最小二乘拟合问题，该函数的调用格式为：

[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda,jacobian]=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub,options,p1,p2,...)

其中，fun是非线性函数模型；x0是最优化的初始值；xdata，ydata是原始输入输出数据向量；返回值x为拟合输出

的未知参数，其他参数的含义可查询帮助文档。

4.多元非线性拟合

MATLAB统计工具箱中提供的求解多元非线性回归的函数nlinfit()可以满足要求，该函数的调用格式为;

[bata,r,J]=nlinfit(X,y,fun,beta0,options)

其中beta是返回的回归系数，这里也就是拟合系数，r是残差，J是Jacobian矩阵；输入数据x、y分别为mn矩阵

和n维列向量，对一元非线性回归x为n维列向量；fun是回归模型的数学表达式，beta0是预先设定的回归系数初

值，options是控制参数选项，它可以通过statset()函数来设置，至于相关的属性及属性名可参阅帮助文档。

第十三讲数值积分

8.1 插值型求积方法

8.2 自适应步长求积方法

8.3 Gauss求积方法

8.4 特殊函数的积分

8.5 数值积分的MATLAB函数求解

8.5.1 trapz()函数

MATLAB中的trapz()函数是基于复化梯形公式设计编写的，其一般调用格式为：

I=trpaz(x,y,dim)

其中x，y是观测数据，x可以为行向量或列向量，y可以为向量或矩阵，y的行数应等于x向量的元素个数；

dim表示按维进行求积，若dim=1(默认值)，则按行求积，若dm=2，则按列求积。

8.5.2 quad()函数

MATLAB提供的quad()函数也是基于自适应辛普森法设计的，该函数的调用格式为：
[q,fcnt] =quad(fun,a,b,tol,trace,p1,p2,…)
其中fun是被积函数，可以是字符表达式、内联函数、匿名函数和Ｍ函数;a,b是定积分的上限和下限；

tol为指定的误差限，默认值为；trace提供中间输出[fcnt ab-aq]，若trace=[]，则quad不提供中间输出；

pl，p2…是函数fun的附加参数。

q是返回的数值积分；fcnt是返回函数评估的次数

另外，MATLAB还提供了一个新的函数quadl()，其调用格式与quad()函数完全一致，使用的算法是自适应Lobatto算法，其精度和速度均远高于quad()函数，所以在追求高精度数值解时建议使用该函数。

8.5.3 quadgk()函数

quadgk()函数是MATLAB R2007b版本提供的基于Gauss-Kronrod算法实现的数值积分数，该函数可以用来求解振荡函数的积分、广义积分甚至是复数积分，其一般调用格式为：[q,errbnd]=quadgk(fun,a,b,param1,val1,param2,val2,…)
其中fun是被积函数，可以是字符表达式、内联函数、匿名函数和Ｍ函数；

a，b是积分的上限和下限，它们可以为-inf和inf;parami,vali是指相关属性名及其属性值。

8.5.4 dblquad()函数

对于长方形区域的双重积分，可以由MATLAB提供的dblquad()函数得出，该函数的调用格式为：
q=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol，@quadl,pl,p2,…)，

其中，输入参数@quadl为具体求解一元积分的数值函数，也可以选择@quad甚至用户自己编写的数值积分求解函数，但要求其调用格式与quadl()函数完全一致，其余参数大致同函数quadl()。

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