前言

之前提到了特征分解和奇异值分解两种矩阵分解的方法，其中特征分解要求n阶方阵且具有n个线性无关的特征向量；SVD分解对矩阵没有要求，但是分解的速度很慢。为了提升分解的效率，可以使用LU分解法。

LU分解（Doolittle杜立特解法）

分解条件

对于可逆方阵AAA，可以将其分解为下三角矩阵LLL和上三角矩阵UUU的乘积：
A=LUAx=[l11l21l22l31l32l33]A=LU \\ \quad \\ Ax=\begin{bmatrix} l_{11} & \\ l_{21} & l_{22} \\ l_{31} & l_{32} & l_{33} \\ \end{bmatrix} A=LUAx=⎣⎡l11l21l31l22l32l33⎦⎤
上下三角矩阵对于方程组求解有良好的求解性质，例如：
Ax=[l11l21l22l31l32l33]x=[b1b2b3]x1=b1/l11x2=(b2−l21x1)/l22x3=(b3−l31x1−l32x2)/l33Ax=\begin{bmatrix} l_{11} & \\ l_{21} & l_{22} \\ l_{31} & l_{32} & l_{33} \\ \end{bmatrix}x = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \end{bmatrix} \\ \quad \\ x_1=b_1/l_{11} \\ x_2=(b_2-l_{21}x_1)/l_{22} \\ x_3=(b3-l_{31}x_1-l_{32}x_2)/l_{33} Ax=⎣⎡l11l21l31l22l32l33⎦⎤x=⎣⎡b1b2b3⎦⎤x1=b1/l11x2=(b2−l21x1)/l22x3=(b3−l31x1−l32x2)/l33
三角矩阵求解的时间复杂度为O(n2)O(n^2)O(n2)

分解方法

由于矩阵AAA可逆，可通过高斯消元法将AAA化为上三角矩阵，例如：
A=[112211121][100010−101]A=[11221101−1][100−210001][100010−101]A=[1120−1−301−1][100010011][100−210001][100010−101]A=[1120−1−300−4]A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2\\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ \quad \\ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}A =\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2\\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ \end{bmatrix} \\ \quad \\ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ -2 & 1 & 0 \\ 0& 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2\\ 0 & -1 & -3 \\ 0 & 1 & -1 \\ \end{bmatrix} \\ \quad \\ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0& 1 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ -2 & 1 & 0 \\ 0& 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}A= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2\\ 0 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & -4 \\ \end{bmatrix} A=⎣⎡121112211⎦⎤⎣⎡10−1010001⎦⎤A=⎣⎡12011121−1⎦⎤⎣⎡1−20010001⎦⎤⎣⎡10−1010001⎦⎤A=⎣⎡1001−112−3−1⎦⎤⎣⎡100011001⎦⎤⎣⎡1−20010001⎦⎤⎣⎡10−1010001⎦⎤A=⎣⎡1001−102−3−4⎦⎤
可以看出，AAA经过几次行变换后，就化为了上三角矩阵，可记为：
L3L2L1A=UA=L1−1L2−1L3−1UL_3L_2L_1A=U \\ \quad \\ A=L_1^{-1}L_2^{-1}L_3^{-1}U L3L2L1A=UA=L1−1L2−1L3−1U
于是，AAA就可以写成行变换矩阵乘积的逆与上三角矩阵的乘积了。行变换矩阵的逆还是行变换矩阵，因此行变换矩阵乘积的逆仍然是行变换矩阵，并且是下三角矩阵。

因此，LU分解实际上就是通过初等行变换将矩阵变为上三角矩阵，并将行变换的乘积取逆的过程。

分解的唯一性

如果矩阵AAA可以进行LU分解，则可能分解出多种L,UL,UL,U矩阵组合；但是如果LLL是单位下三角矩阵，或UUU是单位上三角矩阵，则LU分解的结果是唯一的。

唯一性的证明可以这么考虑：在高斯消元时，依次将每列在对角线上的元素考虑为主元，那么行变换就是固定的，则矩阵LLL就是唯一的。

此外，L,UL,UL,U矩阵的对角线元素必然不为零，证明方法也很简单：AAA可逆，∣A∣=∣L∣∣U∣≠0|A|=|L||U|\ne 0∣A∣=∣L∣∣U∣=0，则∣L∣≠0,∣U∣≠0|L|\ne0,|U|\ne0∣L∣=0,∣U∣=0，则对角线必没有零元素。

复杂度

可以看出，将第一列化为主元列时，需要对每行(n)的每个元素(n)进行操作，n列都要化为主元列，则时间复杂度为O(n3)O(n^3)O(n3)

PLU分解

上面的示例中，矩阵AAA通过行变换进行分解，采用的是高斯消元的思想。然而，如果有这么一个可逆矩阵：
A=[011−201001]A=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1\\ -2 & 0 & 1 \\ 0& 0 & 1 \\ \end{bmatrix} A=⎣⎡0−20100111⎦⎤
按照上面所说，AAA可逆则可LU分解，然而在高斯消元时，默认第一列的主元值为0，这样就没法通过行增减变换消元了。这时候，需要使用行置换的方法，将第一列的主元换为-2。这就是PLU分解：
A=PLUA=PLU A=PLU
其中，P是一个行置换矩阵（也是初等行变换），L是下三角矩阵，U是上三角矩阵。

具体的分解方法与LU分解非常类似，在此就不重复记录了。

PLU分解的稳定性明显优于LU分解，因此在实际中使用LU方法时，往往默认采用PLU矩阵分解。

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