统计信号处理基础 习题解答1-3
题目：令
，其中 是具有PDF为 的随机变量，如果 是一个确定性的参数，根据 求 的PDF，并且用 表示。其次，假定 是一个与 独立的随机变量，求条件PDF 。最后，不假定 和 是独立的，求 。读者应该如何解释 和 。
解答
尽管题目都用 这个表达式，但是三个问题的区别：
第一个问题： 不是随机变量而是确定值， 概率密度已知，求 的概率密度
第二个问题： 和 都是随机变量，但是 和 相互独立，求 的概率密度
第三个问题： 和 都是随机变量，但是 和 相互不独立，求 的概率密度
第一个问题求解：
此问题本质上是概率密度函数变换问题，具体可以参考：
概率论中密度函数变换_bingfeiqiji的博客-CSDN博客_概率密度变换公式
随机变量 具有分布函数：
那么 的概率密度函数为：
另外，考虑随机变量 的分布函数：
因此， 的概率密度函数为：
根据题意 的PDF，可以表示为：
第二个问题求解：
第二和第三个问题，都需先补充一下条件概率密度的性质：
- 边缘概率分布及边缘概率密度：
如果存在二维随机变量X和Y，及二维分布函数 ，那么随机变量X和Y各自的分布函数可以表示为：
即：
那么对应的概率密度可以表示为：
上述分别可以称为二维随机变量的边缘概率分布函数及边缘概率密度函数
- 条件概率分布及条件概率密度：
当二维随机变量中， 时的条件概率分布，即 发生的情况下 的分布为：
对应的概率密度可以证明为：
即：
上式也被称为：当 情况下 的概率密度函数。
进一步，如果 和 相互独立，那么存在：
也就是：
上式性质可以进一步参考：
概率论知识回顾（十一）：边缘密度函数，条件密度函数及其独立性_MengFly的博客-CSDN博客_边缘密度函数
概率论与数理统计(3.2)边缘分布_weirdo_cy的博客-CSDN博客_边缘分布律怎么求
回到题目，如果记 表示为包含二维随机变量 和 的联合概率密度,那么联合概率分布可以表示为：
那么对应的概率密度函数为：
考虑二维随机变量 和 的联合概率分布
那么对应的概率密度函数为：
因此，在 和 独立分布的情况下，存在：
因此可以得到结论：当 和 是独立的随机变量时，
第三个问题求解：
由于联合概率密度可以表示为：
因此：
因此，此时当 和 不是独立的随机变量时，
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