牛顿迭代法原理及C++实现

牛顿迭代法

牛顿迭代法的思想是将非线性函数（原方程）线性化（切线方程），以线性方程的解逐步逼近非线性方程的解。

算法步骤

步骤1：设x^*是f(x)= 0 的根，选取x₀作为x^*初始近似值，并设f(x)， f^’(x)和f^’’(x) 在x^*附近连续。过点(x₀,f(x₀)) 做曲线y=f(x)的切线L，L的方程为y=f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀) ，这里其实是f(x)在x₀处的一阶Taylor展开，求出L与x轴交点的横坐标x₁= x₀-f(x₀)/f’(x₀) ，称x₁ 为x₀ 的一次近似值。

步骤2：过点(x₁,f(x₁)) 做曲线的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x₂= x₁-f(x₁)/f’(x₁) ，称x₂为x^*的二次近似值。

步骤3：重复以上过程，得 x^*的近似值序列x_k+1= x_k-f(x_k)/f’(x_k)，其中x_k+1，称为的k+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。

步骤4：在迭代序列收敛的情况下，取满足精度的迭代值 x_k作为方程的根x^* 的近似值。

算法流程

例题

用牛顿迭代法求解方程x³-3x-1=0 在x₀=2 附近的根，精确到小数点后第四位。

代码实现

#include "stdio.h"
#include "math.h"
main()
{float x0,x1=2;int i=0;printf("\nx%d=%7.6f",i,x1);i++;do{x0=x1;x1=x0-(x0*x0*x0-3*x0-1)/(3*x0*x0-3);  //代码求导搞不定，只能手动求导了，囧~printf("\nx%d=%7.6f",i,x1);i++;}while(fabs(x1-x0)>=0.000001);printf("\nx=%5.5f",x1);
}

计算结果

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