一、实体-薄结构连接多物理场节点

在对复杂的结构力学工程问题进行有限元分析时，往往需要混合使用薄结构模型（例如壳模型以及膜模型）与实体模型（例如固体力学模型及多体动力学模型）对分析对象的复杂几何进行简化，以求降低计算代价。
对于ANSYS、ABAQUS等专长于结构力学有限元的软件来说，这一目标的实现依赖于在薄结构几何与实体结构几何连接处添加特定的“连接单元”。
而在COMSOL软件中，我们则无从在例如固体力学物理场的某一个子节点或者网格划分的某一个节点中去寻找这样的单元。这一原因在于，COMSOL的开发初衷是为搭建一套面向多物理场问题有限元分析的通用平台；因此，为构造一套可应用于不同物理场问题的有限元求解范式，COMSOL从偏微分方程组数值求解这一底层逻辑出发，把有限元分析问题分解为了“几何>>材料>>物理场>>网格>>求解器>>结果后处理 ”这样一套模型树构建逻辑。如图1所示，COMSOL软件界面模型树内的不同部分实际对应着偏微分方程求解的不同步骤：从几何构建到网格划分在内的多个步骤，对应偏微分方程组的构建；研究步骤则对应偏微分方程组的求解……

图 1 COMSOL模型树构建逻辑

回到我们所说的薄结构与实体结构之间的连接问题，在上面这样一套模型树构建流程中，几何节点仅仅用于确定分析对象的CAD构型，薄结构与实体结构的建模又对应不同的物理场节点，而网格划分节点则并不涉及定义网格单元的具体形式与阶次。因此，薄结构-固体结构连接问题似乎并没有办法直接归置于几何建模问题或是网格划分问题之下。

为解决薄结构与固体结构之间的连接问题，COMSOL提供了一个多物理场节点实体-薄结构连接多物理场节点(Solid-Thin Structure Connection multiphysics node)予以功能实现。

实体-薄结构连接多物理场节点能够在使用固体力学物理场(Solid Mechanics)或多体动力学物理场(Multibody Dynamics)建模的域几何体和壳物理场(Shell)或膜物理场(Membrane)建模的边界几何体之间创建过渡连接。

具体到软件操作层面而言，当我们的模型树中同时拥有描述薄结构的物理场（例如壳物理场或膜物理场）以及描述实体结构的物理场（例如固体力学物理场或多体动力学物理场）时，即可右键单击多物理场节点添加实体-薄结构连接节点，如图2所示：

图 2 添加实体-薄结构连接节点

接下来，我们就以壳物理场与固体力学物理场之间的连接为例，展示实体-薄结构连接多物理场节点的功能与使用方法。

二、壳模型与固体力学模型连接的三种方式

在有限元分析理论中，壳模型与固体力学模型间存在三种基本的连接方式。第一种连接方式下，壳几何与固体几何的一个薄区域上相连接，两个区域间的厚度保持一致，如图3所示；这样一种情况下，从理论分析的角度讲，壳理论在连接处两侧均可保持一致。但从应用的角度讲，在具体的案例中手动构造这样一种连接方式的难度是比较大的。

图 3 壳模型与固体力学模型的连接方式1

第二种情况则较为常见，也即薄结构几何的切平面垂直于它所正对的大厚度实体几何表面，如图4所示，在这种情况下，连接的物理特性需要用一种近似手段描述。实际上，我们可以将这样这样一种连接方式转换为第一种连接情况处理，因此，上述两种情况具有近似的物理实质，在有限元建模中可被当成同一种问题处理。

图 4 壳模型与固体力学模型的连接方式2

最后一种情况，则是壳几何包裹在固体几何表面，或者说，壳几何切平面与大厚度固体几何表面相平行的情况，如图5所示。

图 5 壳模型与固体力学模型的连接方式3

需要注意的是，在具体的有限元分析过程中，无论上述那种情况，为确保壳模型基本假设成立，壳几何与固体几何边界的距离都应当小于壳模型的定义厚度。
对应上述三种理论连接方式，实体-薄结构连接多物理场节点也提供了三种连接建模方式：①实体边界到壳边 (Solid boundaries to shell edges)，②共享边界(Shared boundaries)，③平行边界(Parallel boundaries)。然而，COMSOL内的三种连接建模方式与三种理论连接方式却并非一一对应。故在本篇博客与接下来的博客中，我们会使用数个案例，对比演示这三种连接方式。

三、连接方式1：实体边界到壳边

如前所述，图3及图4所描述的两种理论连接方式可当作同一种连接模式处理，也即壳平面与相连实体表面相垂直的情况，在COMSOL中，对应这一连接模式的选项则为实体边界到壳边选项。接下来，我们就以图4所示的案例对实体边界到壳边连接方式的特点进行分析。

3.1 案例的几何构建

为描述该类问题，我们首先需要在COMSOL中构建对应的模型几何，并指定模型几何对应的物理场。
首先，我们构造一个正方体以及与正方体+X+X+X面相连并垂直的矩形平面，模型的整体几何如图6所示。具体的，正方体边长50cm，矩形平面边长相同，并位于正方体对称面上，设置如图7所示。

图 6 案例的模型几何

图 7 模型几何的设置方法

3.2 物理场与材料的指定

随后，需要添加固体力学物理场与壳物理场，并指定对应的作用域及边界条件。
固体力学物理场作用域仅包含我们前期定义的正方体，而无法包括边界几何层面的矩形面,如图8所示。为进一步展示“实体边界到壳边”这一连接方式的连接效果，我们在正方体的−X-X−X面上定义如图9所示的固定约束，并随后在薄板的+X+X+X边上定义载荷。

图 8 固体力学物理场的作用域

图 9 固定约束边界条件的设置

壳物理场的作用域仅能指定边界层面上的面几何体，本案例中，我们仅需选择单独绘制的矩形平面，以确保其它边界层不会纳入壳模型的建模与计算中，如图10所示。由于壳模型在几何层面上并未描述厚度，我们需要在厚度与偏移子节点定义该薄板的厚度，此处厚度定义为5mm，如图11所示。进一步的，我们在壳物理场中定义矩形薄板的+x边处总力，总力包含面内、面外两个分量，面内分量沿+Y+Y+Y向，大小500N，面外分量沿+Z+Z+Z向，大小100N，如图12所示。

图 10 壳物理场的作用域

图 11 壳厚度的设置

图 12 设置边载荷

模型的材料方面，由于为示例分析，添加任何一种各项同性本构的材料模型即可，本例中使用了COMSOL自带的“Steel AISI 4340”。此时需要注意，由于固体力学物理场与壳物理场指定的几何层次不同，对应在材料节点上，我们也需要从域和边界两个不同的几何层次上去对材料属性进行定义。

3.3 设置实体-薄结构连接节点

随后，我们即可以添加实体-薄结构连接多物理场节点并设置薄结构与实体结构间的连接。
在添加完该节点后，首先需要检查耦合接口分栏，我们所讨论的这一案例中，软件会自动选择模型树下已有的两个物理场，也即我们所定义的固体力学物理场与壳物理场。
此后，我们需要在连接设置分栏中定义薄结构与实体结构间的连接方式。当我们在薄结构选择列表中选择壳选项时，连接类型选择列表共可选择3类选项：①实体边界到壳边 (Solid boundaries to shell edges)，②共享边界(Shared boundaries)，③平行边界(Parallel boundaries)。

图 13 实体-薄结构连接多物理场节点的设置

与壳平面与相连实体表面相垂直这一情况对应的选项，是实体边界到壳边选项。选择该选项后，软件会自动选择相邻的几何体（也即相连的壳模型边与固体模型边界）。但如果我们想要改动这些选项，则可勾选手动控制选择复选框(Manual control of selections check box)，并回到设置页面最上端的边界选择，实体分栏以及边界选择，壳分栏选择自己所需的固体物理场边界及壳物理场边。此后，如果我们再次取消勾选该复选框的勾选，则手动选择对象将被自动选择对象所替代。
在随后的连接区域定义方式选择列表(Connected area defined by)中，共有3个选项：①壳厚度 (Shell thickness)，②选定的实体边界(Selected solid boundaries)，③到壳中面的距离(Distance from shell midsurface)。这一参数定义了连接在壳几何上的选定固体边界的面积。默认情况下，该选项会置于壳厚度选项上，此时在垂直于壳模型几何的上下两个方向上，将分别以壳厚度的一半作为固体边界连接区域的宽度。如果选择选定的实体边界选项，则COMSOL会将所选固体边界。整体连接至壳模型上。如果选择到壳中面的距离选项，则还需输入距离ddd，用以替代壳厚度的一半这一数值来定义壳与固体边界间的连接距离。
这之后的方法选择列表(Method)则定义了实体边界与壳边间的耦合方式，如果选择刚性选项，耦合仅仅会在实体边界部分添加约束，此时由于连接厚度始终不变，将会使得应力场产生一定的误差与扰动。如果选择柔性选项，壳边上则会添加三个额外的自由度，这会使连接处的描述更为精确。本案例中，我们选择刚性选项。
需要格外注意的是：上述两个选择列表的设置将会决定固体边界连接区域的应力分布及局部变形；如若网格划分不当，则会进一步导致模型不收敛。

3.4 网格划分

壳-实体混合模型中连接边界处的连接定义方式及网格划分共同影响着模型的收敛性，简言之，我们在网格划分中需要遵循的一条原则既是，固体边界连接位置上网格单元的大小需要小于或与壳模型所定义的厚度基本一致。本案例中，薄板的厚度定义为5mm，连接区域定义方式选择为“壳厚度”，也即5mm。因此，我们在划分自由四面体网格的基础上，添加一个分布子节点以确保连接位置处的网格单元大小与薄板厚度基本一致。

图 14 网格的划分及加密

3.5 有限元计算结果

完成上述设置，我们即可在“研究步骤”中求解模型的稳态解。以下即展示了案例的稳态解位移场。可以看到薄板的一端虽然固支在正方体上，结构整体却产生了面内及面外的变形。

图 15 结构的整体位移场-视角1

图 16 结构的整体位移场-视角2

3.6 问题收敛性的讨论

在前文中，我们多次强调，对于“实体边界到壳边”这一连接方式，网格划分及连接方式设置对模型收敛性的影响。尤其在薄板结构受到面外载荷时，这一影响格外明显；网格划分与连接方式不匹配，即会出现如下的错误，导致求解器不收敛。

对于我们所分析的这一案例，影响收敛性的参数主要包括①连接区域定义方式，②连接边界处的单元数量，③壳模型的厚度。下表即展示了本案例中上述参数取不同设置下模型的收敛性情况。

序号	壳厚度模型	连接区域定义方式	边界处网格数量	模型收敛性
1	5 [mm]	壳厚度	30	不收敛
2	10 [mm]	壳厚度	30	收敛
3	5 [mm]	选定的实体边界	30	收敛
4	5 [mm]	壳厚度	60	收敛
5	5 [mm]	壳厚度	100	收敛

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