什么是递归

百度百科：程序调用自身的编程技巧称为递归（ recursion）。

借用知乎上Memoria的回答：

假设你在一个电影院，你想知道自己坐在哪一排，但是前面人很多，你懒得去数了，于是你问前一排的人「你坐在哪一排？」，这样前面的人 (代号 A) 回答你以后，你就知道自己在哪一排了——只要把 A 的答案加一，就是自己所在的排了。不料 A 比你还懒，他也不想数，于是他也问他前面的人 B「你坐在哪一排？」，这样 A 可以用和你一模一样的步骤知道自己所在的排。然后 B 也如法炮制。直到他们这一串人问到了最前面的一排，第一排的人告诉问问题的人「我在第一排」。最后大家就都知道自己在哪一排了。

递归问题分析的核心

一个合法的递归定义包含两个部分：基础情况和递归部分。

分析一个递归问题就是列出递归定义表达式的过程。
上面那个电影院排数的问题表达式可以列为：

f(n)={1,f(n−1)+1,n= 1n>1

f(n) =\begin{cases}1, & \text{n= 1} \\f(n-1)+1, & \text{n>1}\end{cases}

几个经典题目

斐波那契数列

斐波那契数列的排列是：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……依次类推下去，你会发现，它后一个数等于前面两个数的和。在这个数列中的数字，就被称为斐波那契数。

递归思想：一个数等于前两个数的和。(这并不是废话，这是执行思路)

首先分析数列的递归表达式：

f(n)={n,f(n−1)+f(n−2),n<= 1n>1

f(n) =\begin{cases}n, & \text{n1}\end{cases}

代码如下:

/*** 斐波那契数列的递归写法*      核心：一个小的解决终点，然后大的问题可以循环在小问题上解决* @param n* @return*/
long F(int n){if (n<=1) return n;return F(n-1)+F(n-2);
}/*** 斐波那契数列的递推写法* @param n* @return*/
long F1(int n){if (n<=1) return n;long fn = 0;long fn_1 = 1;long fn_2 = 0;for (int i = 2; i <= n; i++) {fn = fn_1 + fn_2;fn_2 = fn_1;fn_1 = fn;}return fn;
}

可以看到，递归写法简单优美，省去考虑很多边界条件的时间。当然，递归算法会保存很多的临时数据，类似于堆栈的过程，如果栈深太深，就会造成内存用尽，程序崩溃的现象。Java为每个线程分配了栈大小，如果栈大小溢出，就会报错，这时候还是选择递推好一点。

观察下面的执行过程也会发现，本程序并没有保存每次的运算结果，第三行的F(7)就执行了两次，下层的F(1),F(2)的次数更是指数级增长。这也是本程序的一个弊端。

斐波那契执行过程：

阶乘

递归思想：n! = n * (n-1)! (直接看公式吧)

首先分析数列的递归表达式：

f(n)={1,f(n−1)∗n,n<= 1n>1

f(n) =\begin{cases}1, & \text{n1}\end{cases}

代码如下:

long factorial(int n){if (n <=1) return 1;return j(n-1)*n;
}

执行过程如下：

倒序输出一个正整数

例如给出正整数 n=12345，希望以各位数的逆序形式输出，即输出54321。

递归思想：首先输出这个数的个位数，然后再输出前面数字的个位数，直到之前没数字。

首先分析数列的递归表达式：

f(n)={print(n%10),print(n%10);f(n/10),n< 10n>=10

f(n) =\begin{cases}print(n\%10), & \text{n=10}\end{cases}

代码如下:

/*** 倒序输出正整数的各位数* @param n*/
void printDigit(int n){System.out.print(n%10);if (n > 10){printDigit(n/10);}
}

汉诺塔

超经典了的递归解决问题了：

法国数学家爱德华·卢卡斯曾编写过一个印度的古老传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔。不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。

数学描述就是：

有三根杆子X，Y，Z。X杆上有N个(N>1)穿孔圆盘，盘的尺寸由下到上依次变小。要求按下列规则将所有圆盘移至Y杆：
1. 每次只能移动一个圆盘；
2. 大盘不能叠在小盘上面。

递归思想：
1. 将X杆上的n-1个圆盘都移到空闲的Z杆上，并且满足上面的所有条件
2. 将X杆上的第n个圆盘移到Y上
3. 剩下问题就是将Z杆上的n-1个圆盘移动到Y上了

公式描述有点麻烦，用语言描述下吧：
1. 以Y杆为中介，将前n-1个圆盘从X杆挪到Z杆上(本身就是一个n-1的汉诺塔问题了！)
2. 将第n个圆盘移动到Y杆上
3. 以X杆为中介，将Z杆上的n-1个圆盘移到Y杆上(本身就是一个n-1的汉诺塔问题了！)

代码如下：

/*** 汉诺塔*      有柱子 x z y，最终将x上的n个圆盘借助z移动到y上*      递归思想：*          1.将x上的n-1个放入到z上，借助y*          2.将x上的n圆盘放到y上*          3.将z上的n-1个圆盘放入y* @param n* @param from* @param tmp* @param to*/
void hanoi(int n,char from,char tmp,char to){if (n>0) {hanoi(n - 1, from, to, tmp);System.out.println("take " + n + " from " + from + " to " + to);hanoi(n - 1, tmp, from, to);}
}

执行过程：

如果一秒钟移动一次，世界毁灭需要多长时间呢？5845.54亿年以上，而地球存在至今不过45亿年，地球现在还是很安全的。

排列问题

输入一个字符串，打印出该字符串中字符的所有排列。例如输入字符串abc，则输出由字符a、b、c所能排列出来的所有字符串abc、acb、bac、bca、cab和cba。

递归思想：
假如针对abc的排列，可以分成 (1)以a开头，加上bc的排列 (2)以b开头，加上ac的排列 (3)以c开头，加上ab的排列

/*** 产生排列组合的递归写法* @param t     数组* @param k     起始排列值* @param n     数组长度*/
void pai(int[] t, int k, int n){if (k == n-1){//输出这个排列for (int i = 0; i < n; i++) {System.out.print(t[i] + " ");}System.out.println();}else {for (int i = k; i < n; i++) {int tmp = t[i]; t[i] = t[k]; t[k] = tmp;//一次挑选n个字母中的一个,和前位置替换pai(t, k+1, n);                      //再对其余的n-1个字母一次挑选tmp = t[i]; t[i] = t[k]; t[k] = tmp;    //再换回来}}
}

本题用递归算法很巧妙，省去了用普通方法时保存数据状态的繁琐操作！

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