李林为什么是神？

首先回答一下“李林为什么是神？”，因为他出的题目只有神才能做对······
李林4套卷基本上是考研数学必做的一套卷子，出题风格与真题接近并且综合性很强。当我做完05-12年的真题卷后再做22年李林四套卷，发现难度明显上升了一个台阶，而且题目考察的知识点不那么明显了。而且计算量尤其大，综合性也是十分突出。我做题有个习惯，拿到一道题目先分析一下它考察的是哪个知识点，在脑海里搜索一下关于这个知识点的重点和难点以及需要注意的地方。这种方法在做早期真题卷时屡试不爽，真题卷考察知识点的意图十分明显。而李林4套卷则会藏着掖着不告诉你，往往会通过一些其他的知识将其封装。这不仅增加了题目的综合性，也让我在刚拿到题目后无法在大脑中迅速构建起解题的脉络（因为之前没遇到过类似的题目），只能从已知出发，摸着石头过河。这就要求学生必须谨慎和全面：既能充分挖掘题目信息，防止视角单一，又能保证运算不出错。

第一套卷

这题表面上是由三个平面垂直得到三个向量内积为0，这看似与线性无关没啥联系。但我们想一想线性无关的定义之一：
对于任意n个向量α1,α2,⋅⋅⋅,αn,不存在不全为0的数k1,k2,⋅⋅⋅,kn，使得k1α1+k2α2+⋅⋅⋅+knαn=0对于任意n个向量\alpha _1,\alpha _2,···,\alpha _n,不存在不全为0的数k_1,k_2,···,k_n，\\使得k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+···+k_n\alpha_n=0 对于任意n个向量α1,α2,⋅⋅⋅,αn,不存在不全为0的数k1,k2,⋅⋅⋅,kn，使得k1α1+k2α2+⋅⋅⋅+knαn=0
这个定义也是偏向计算的定义，当然还有偏向抽象的定义：
对于任意n个向量α1,α2,⋅⋅⋅,αn,其中任意一个向量都不能由其他向量线性表示对于任意n个向量\alpha _1,\alpha _2,···,\alpha _n,其中任意一个向量都不能由其他向量线性表示对于任意n个向量α1,α2,⋅⋅⋅,αn,其中任意一个向量都不能由其他向量线性表示
这个题向量内积为0的条件更是偏向计算的条件，所以我们应该采用第一条定义。
这也告诉我们①看到无从下手的题目多回归定义，追根溯源②复习概念要全面，对概念理解要到位，就比如“偏向计算”和“偏向抽象”的修饰就是自己的理解③养成习惯：弄清楚题目考察的知识点

这题也是一道需要追根溯源的题目。题目本身又是什么速度场，又是流量的，跟数学名词不太沾边。但我们回想起课本中为了引出对坐标的曲面积分而讨论的流量，这题就迎刃而解了。
接下来我们看一眼书：

出自高数下册P224，不熟悉的同学可以翻翻课本。

这题其实还好，但有一点小问题：很多人求方向l⃗\vec ll时，忽略了方向余弦即l⃗\vec ll是一个单位向量。我们来看一眼课本：

顺便我们还复习到了：可微能推出方向导数存在

偏导数存在不能推出方向导数存在

这个题主要是步骤，考察的知识点很明显：变上限求导和弧长公式。推荐大家先做一下，做完以后看一下我写的步骤。

①：变量代换，消除上限中的n
②：去根号，凑完全平方（常用技巧）
③：取绝对值，考虑被积函数在积分上下限恒正，直接去掉

如果③处积分上下限为[0,π\piπ]，那该怎么做？
关于三角函数积分区间问题，660中的题目很好的考察。

这题核心是如何构造(X,Y)(X,Y)(X,Y)的概率密度。在概率论的实际问题中，很多时候我们将实际问题给映射到坐标区域中，利用面积的思想去解决。

在求Z=g(x,y)Z=g(x,y)Z=g(x,y)的概率密度的时候，我们多数情况是利用上述性质3
Fz(z)=P{g(x,y)≤z}=∬g(x,y)≤zf(x,y)dxdyF_z(z)=P\left \{ g(x,y)≤z \right \} =\iint\limits_{g(x,y)≤z}^{} f(x,y)dxdy Fz(z)=P{g(x,y)≤z}=g(x,y)≤z∬f(x,y)dxdy
再对Fz(z)F_z(z)Fz(z)求导得到概率密度
抑或是课本上这个例子

这题也是典型的将实际问题映射到坐标区域，利用面积求解

第二套卷

这题是一个隐藏很深的题目，需要熟练掌握代数余子式的计算方法：
A11=∣a22a23a24a32a33a34a42a43a44∣≠0A_{11} = \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix}\ne 0 A11=∣∣a22a32a42a23a33a43a24a34a44∣∣=0
那么α2,α3,α4\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4α2,α3,α4的缩短组线性无关，其α2,α3,α4\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4α2,α3,α4也是线性无关的。而判断是否相似对角矩阵则是要考虑特征值的重数与对应线性无关的特征向量个数，总之是一道综合了向量组，伴随矩阵，对角化判断的题目。

出题角度很新颖，我们在方向导数那章学过，上升最快的方向就是梯度方向。

而这个方向反映到实际就是dydx\frac{dy}{dx}dxdy，也就是求解一个微分方程。

很难想到这是一道条件极值问题，我当初做的时候总感觉像高中做的解析几何，一直在找几何关系······
那么从哪找出来的条件极值问题呢？想想当椭圆与圆相切的时候，那么椭圆上的点到圆心的距离最小值是不是圆的半径？
那么就是求椭圆上一点(x,y)(x,y)(x,y)到(0,1)(0,1)(0,1)的最小值
d(x,y,λ)=x2+(y−1)2+λ(23x2+29y2−a2)d(x,y,\lambda )=x^2+(y-1)^2+\lambda (\frac{2}{3}x^2+\frac{2}{9}y^2-a^2) d(x,y,λ)=x2+(y−1)2+λ(32x2+92y2−a2)
求出含a的极小值点，代入结果为1，即可解出a了。

这题考察对面积的曲面积分，大家可以先做一做，主要是要画图观察三个曲面，这样才能计算出结果。难度是不难，思路可以想想，直接上答案