大M（简单形法）、拉格朗日线性规划求解

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大M（简单形法）、拉格朗日线性规划求解
- 1、大M（简单形法）原理定义
- 2、大M（简单形法）求解步骤
- 3、例题求解
- - （1）excle处理：
  - （2)excle数据分析求解
  - - <1>excle 表格如下
    - <2>数据分析处理结果
  - (3)python 程序处理如下：
  - - <1>程序如下（非引用相关库）：
    - <2>引用scipy库

1、大M（简单形法）原理定义

在线性规划问题的约束条件中加人工变量后，要求在目标函数中相应地添加认为的M或一M为系数的项。在极大化问题中，对人工变量赋于一M作为其系数；在极小化问题中，对人工变量赋于一个M作为其系数，M为一任意大（而非无穷大）的正数。把M看作一个代数符号参与运算，用单纯形法求解，故称此方法为大M法，也可称为惩罚因子法。

2、大M（简单形法）求解步骤

应用单纯形法在改进目标函数的过程中，如果原问题存在最优解，必然使人工变量逐步变为非基变量，或使其值为零。否则，目标函数值将不可能达到最小或最大。在迭代过程中，若全部人工变量变成非基变量，则可把人工变量所在的列从单纯形表中删去，此时便找到原问题的一个初始基可行解。若此基可行解不是原问题的最优解，则继续迭代，直至所有的检验数都小于等于0，求得最优解为止。

3、例题求解

（1）excle处理：

题目相关约束条件如下，求解2x1+x2+x3最大值：

第1步标准化为：

明显的,x1和x5可分别作为第2行和第3行的基变量,因此,只在第1行引入人工变量,不必每行均引入人工变量。

第2步
填写初始单纯形。以x1、X5、y1为初始基变量,如图1中A1:K8所示填写初始单纯形。
①在E1:J1、E2:J3、C4:C6、A4:B6、B4: B6、D4:D6、E4 :J6中依次填写约束变量、目标系数、基变量、基变量的目标系数、约束值、约束矩阵。

②A7填写目标值中M的系数,公式为
= SUMPRODUCT( A4 :A6,D4 :D6)

③B7填写目标值中常数项,公式为
= SUMPRODUCT( B4 : B6 ,D4:D6)

④E7填写检验数中M的系数，公式为
=E$2 - SUMPRODUCT( $ A4: $ A6, E4:E6)如图2所示,设置E7的条件格式,条件公式为=AND(E7>0,E7=$K7)

具体格式自定,醒目即可。把E7向右- -直复制到J7。⑤E8填写检验数中常数项,公式为=IF(E7= $K7,E $3 - SUMPRODUCT( $ B4:$B6,E4:E6),"")

设置E8的条件格式，条件公式为
= AND( E8 >0,E8= $ K8)

把E8向右一直复制到J8

⑥K7填写检验数中M的最大系数,公式为= MAX( E7:J7)
把K7复制到K8。

第3步检验最优解。
检验数E7:J7中有正数,需要换基。

第4步选择人基变量。
E8:J8 中只有G8这- -个检验数 ,因此,x3 人基。

第5步选择出基变量。
K4中填写公式= IF(G4 >0,D4/G4,"")
并向下- -直复制到K6。出基值K4:K6中最小正数在K4和K5,不妨选x出基。

第6步换基。
把A4:K8复制到A9:K13, C9、A9、B9 中相应填写人基变量x3及其目标系数。D9:D11中依次填人公式

=D4、=D5-D9、=D6 +D9

并向右一直复制到J列。然后,转回第3步。

第3步(第2次)检验最优解。
检验数E13:J13中有正数,需要换基。

第4步(第2次)选择人基变量。
检验数E13:J13中最大数在F13,因此,x2人基。

第5步(第2次)选择出基变量。
K9 中填写公式=IF(F9>0,D9/F9,"")
并向下- -直复制到K11。出基值K9:K11中最小正数在K10,因此,x;出基。

第6步(第2次)换基。
把A9:K13复制到A14;K18 ,C15、A15、B15中相应填写人基变量x2及其目标系数。
D14:D16 中依次填人公式
=D9、=D10+2* D14、=D6- D14
并向右一-直复制到J列。然后，转回第3步。

第3步(第3次)检验最优解。
检验数E17:J17和E18:J18中均没有正数,基中没有人工变量,因此，当前单纯形的可行基解是最优解(之一)。

至此,得最优解x, =x2 =0,x3 =2,最优值为2。.另外,松驰变量xs =0,xs =3,人工变量y1 =0。

（2)excle数据分析求解

<1>excle 表格如下

<2>数据分析处理结果

(3)python 程序处理如下：

<1>程序如下（非引用相关库）：

# encoding=utf-8
import numpy as np  # python 矩阵操作lib
class Simplex():def __init__(self):self._A = ""  # 系数矩阵self._b = ""  #数组self._c = ''  # 约束self._B = ''  # 基变量的下标集合self.row = 0  # 约束个数def solve(self):# 读取文件内容，文件结构前两行分别为 变量数 和 约束条件个数# 接下来是系数矩阵# 然后是b数组# 然后是约束条件c# 假设线性规划形式是标准形式（都是等式）A = []b = []c = []self._A = np.array(A, dtype=float)self._b = np.array(b, dtype=float)self._c = np.array(c, dtype=float)self._A = np.array([[0,2,-1],[0,1,-1]],dtype=float)self._b = np.array([-2,1],dtype=float)self._A = np.array([[1,-1,1]])# 等式约束系数self._A，3x1维列向量self._b = np.array([2])# 等式约束系数self._b，1x1数值self._c = np.array([2,1,1],dtype=float)self._B = []self.row = len(self._b)self.var = len(self._c)(x, obj) = self.Simplex(self._A, self._b, self._c)self.pprint(x, obj, A)def pprint(self, x, obj, A):px = ['x_%d = %f' % (i + 1, x[i]) for i in range(len(x))]print(','.join(px))print('目标函数最小值: %f' % obj)for i in range(len(A)):print('%d-th line constraint value is : %f' % (i + 1, x.dot(A[i])))def InitializeSimplex(self, A, b):b_min, min_pos = (np.min(b), np.argmin(b))  # 得到最小bi# 将bi全部转化成正数if (b_min < 0):for i in range(self.row):if i != min_pos:A[i] = A[i] - A[min_pos]b[i] = b[i] - b[min_pos]A[min_pos] = A[min_pos] * -1b[min_pos] = b[min_pos] * -1# 添加松弛变量slacks = np.eye(self.row)A = np.concatenate((A, slacks), axis=1)c = np.concatenate((np.zeros(self.var), np.ones(self.row)), axis=0)# 松弛变量全部加入基,初始解为bnew_B = [i + self.var for i in range(self.row)]# 辅助方程的目标函数值obj = np.sum(b)c = c[new_B].reshape(1, -1).dot(A) - cc = c[0]# entering basise = np.argmax(c)while c[e] > 0:theta = []for i in range(len(b)):if A[i][e] > 0:theta.append(b[i] / A[i][e])else:theta.append(float("inf"))l = np.argmin(np.array(theta))if theta[l] == float('inf'):print('unbounded')return False(new_B, A, b, c, obj) = self._PIVOT(new_B, A, b, c, obj, l, e)e = np.argmax(c)# 如果此时人工变量仍在基中，用原变量去替换之for mb in new_B:if mb >= self.var:row = mb - self.vari = 0while A[row][i] == 0 and i < self.var:i += 1(new_B, A, b, c, obj) = self._PIVOT(new_B, A, b, c, obj, new_B.index(mb), i)return (new_B, A[:, 0:self.var], b)# 算法入口def Simplex(self, A, b, c):B = ''(B, A, b) = self.InitializeSimplex(A, b)# 函数目标值obj = np.dot(c[B], b)c = np.dot(c[B].reshape(1, -1), A) - cc = c[0]# entering basise = np.argmax(c)# 找到最大的检验数，如果大于0，则目标函数可以优化while c[e] > 0:theta = []for i in range(len(b)):if A[i][e] > 0:theta.append(b[i] / A[i][e])else:theta.append(float("inf"))l = np.argmin(np.array(theta))if theta[l] == float('inf'):print("unbounded")return False(B, A, b, c, obj) = self._PIVOT(B, A, b, c, obj, l, e)e = np.argmax(c)x = self._CalculateX(B, A, b, c)return (x, obj)# 得到完整解def _CalculateX(self, B, A, b, c):x = np.zeros(self.var, dtype=float)x[B] = breturn x# 基变换def _PIVOT(self, B, A, b, c, z, l, e):# main element is a_le# l represents leaving basis# e represents entering basismain_elem = A[l][e]# scaling the l-th lineA[l] = A[l] / main_elemb[l] = b[l] / main_elem# change e-th column to unit arrayfor i in range(self.row):if i != l:b[i] = b[i] - A[i][e] * b[l]A[i] = A[i] - A[i][e] * A[l]# update objective valuez -= b[l] * c[e]c = c - c[e] * A[l]# change the basisB[l] = ereturn (B, A, b, c, z)s = Simplex()
s.solve()

执行结果如下：

<2>引用scipy库

import numpy as np
from scipy import optimize as op
# 给出变量取值范围
x1=(0,None)
x2=(0,None)
x3=(0,None)
c = np.array([2,1,1])# 目标函数系数,3x1列向量
A_ub = np.array([[0,2,-1],[0,1,-1]]) # 不等式约束系数A，2x3维矩阵
B_ub = np.array([-2,1])# 等式约束系数B, 2x1维列向量
A_eq = np.array([[1,-1,1]])# 等式约束系数Aeq，3x1维列向量
B_eq = np.array([2])# 等式约束系数beq，1x1数值
res=op.linprog(c,A_ub,B_ub,A_eq,B_eq,bounds=(x1,x2,x3))#调用函数进行求解
res

程序运行结果如下：

求解得到最大值结果为1.9999999

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