QP

假设数据生成过程为
yt=atx+ety_t=a_tx+e_t yt=atx+et
目标是估计出过程变量xxx

x = [1 2 3 4 5 6]';
t = (0:0.02:2*pi)';
A = [sin(t) sin(2*t) sin(3*t) sin(4*t) sin(5*t) sin(6*t)];
e = (-4+8*rand(length(t),1)); % add noise
e(100:115) = 30;
y = A*x+e;
plot(t,y);

为了求解1-norm回归问题，定义残差变量，设置目标函数为残差最小化，调用YALMIP求解

xhat = sdpvar(6, 1);
residuals = y-A*xhat;
bnd = sdpvar(length(residuals), 1);
% 残差约束
cons = [-bnd<= residuals<= bnd];optimize(cons, sum(bnd));
x_L1=value(xhat);

设置为2-norm回归问题，即QP求解

optimize([], residuals'*residuals);
x_L2=value(xhat);

设置为∞-norm问题（最小化向量中的绝对值最大的元素）

bnd = sdpvar(1, 1);
cons = [-bnd<=residuals<=bnd];
optimize(cons, bnd);
x_inf = value(xhat);

绘制不同目标函数下的拟合图像

%% plot
hold on;
h1=plot(t, y);
h2=plot(t, A*x_L1);
h3=plot(t, A*x_L2);
h4=plot(t, A*x_inf);
legend([h1 h2 h3 h4], {'y', 'L1-norm', 'L-norm', 'L-inf norm'});
hold off;

优化求解过程可以在YALMIP中简写表示

res_1=optimize([], norm(residuals, 1));
res_2=optimize([], norm(residuals, 2));
res_inf=optimize([], norm(residuals, inf));

Large-scale QP

The 2-norm solution is most easily stated in the described QP formulation, although it in some cases is more efficient in YALMIP to express the problem using a 2-norm, which will lead to SOCP.

aux = sdpvar(length(residuals),1);
optimize([aux == residuals],aux'*aux);

在求解大规模QP问题时，可以引入辅助变量和等式约束，这样会使得二次项变得稀疏，求解器可以更快求解. 设QP问题的目标函数为
{xTQxQ=RTR使用Cholesky分解矩阵，降低计算复杂度\begin{cases} x^TQx\\ Q=R^TR\quad\text{使用Cholesky分解矩阵，降低计算复杂度} \end{cases} {xTQxQ=RTR使用Cholesky分解矩阵，降低计算复杂度

R = chol(Q);
z = sdpvar(length(x),1);
optimize([z == R*x],z'*z);

如果知道QQQ是一个低秩矩阵，可以进行如下矩阵分解优化

R = my_smart_factorization(Q);
z = sdpvar(size(R,2),1);
optimize([z == R*x],z'*z);

一种节省内存的方式

z = sdpvar(1);
optimize([z == sum(x)],z^2);

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