数值方法：多项式插值

概述–插值方法

一维的数值插值方法，包括但不仅包括：

线性插值
Lagrange插值
Newton插值
Hermite插值
三次样条插值
sinc插值
小波插值

多项式插值

首先，多项式插值是基本的方法，除了上面的Lagrange方法与Newton方法，还有Aitken方法与Neville方法，由于多项式插值定理：

定理1 给定n+1n+1个相异节点 x0,x1,⋯,xn∈[a,b]x_0,x_1,\cdots,x_n\in [a,b]，以及n+1n+1个函数值f(x0),f(x1),⋯,f(xn)f(x_0),f(x_1),\cdots,f(x_n)，那么存在唯一的nn次多项式p∈Pnp\in{\mathscr P_n}满足插值条件

p(xi)=f(xi),i=0,1,⋯,n

p(x_i)=f(x_i), i=0,1,\cdots,n

由此可见，不同的多项式插值方法对于同样的插值问题的插值结果是一致的。

Hermite插值

多项式插值仅要求在插值节点x0,x1,...,xn∈[a,b]x_0,x_1,...,x_n\in [a,b]处的插值多项式与被插值函数相等。Hermite插值也是多项式插值，不过对于每个节点，不仅要求函数值相等，还要求节点处的一阶导数，甚至高阶导数相等。

定理2 设f∈C1[a,b]f\in C^1[a,b]给定n+1n+1个相异节点 x0,x1,⋯,xn∈[a,b]x_0,x_1,\cdots,x_n\in [a,b]，那么存在唯一的多项式H2n+1∈P2n+1H_{2n+1}\in{\mathscr P_{2n+1}}满足插值条件

{H2n+1(xj)=f(xj),H′2n+1(xj)=f′(xj),j=0,1,⋯,n

\begin{cases} H_{2n+1}(x_j)=f(x_j), \\ H'_{2n+1}(x_j)=f'(x_j),&j=0,1,\cdots,n \end{cases}

三次样条插值

高次多项式插值时由于出现的Runge现象不一定能达到高精度，因此分段低次的多项式插值是一个有效解决方法。

定义对于区间[a,b][a,b]的一个剖分Δ:a=x0,x1,⋯,xn=b\Delta:a=x_0,x_1,\cdots,x_n=b，如果SS为满足以下条件的函数： (1)S∈C2[a,b]S\in C^2[a,b]，(2)在每个子区间[xj,xj+1][x_j,x_{j+1}]上是三次多项式，则称SS是关于剖分Δ\Delta的一个三次样条函数。

sinc插值

多项式插值是时域的插值方法，sinc函数对应的频域函数是理想矩形窗，是一种频域的插值方法，相关应用设计的信号处理、傅里叶变换方面的知识。理论上，经过周期采样的信号在恢复时使用sinc函数时效果更好。

小波插值

据说是比较前沿的领域，目前信号处理技术多是以三角函数为基函数对目标函数进行分析，相关的变换是傅里叶变化，分析方法是频域分析方法。小波理论使用的是一组小波正交基，以此对目标函数进行分析。
（目前对小波理论并不了解，有待进一步研究。）

多项式插值方法

Lagrange方法

function [f]=interpolationLangrange(xx,ff,x)f=0;
nx=length(xx)-1;for i=0:nxli=1;for j=0:nxif(j~=i)li = li*(x-xx(j+1))/(xx(i+1)-xx(j+1));end        endf= f+ ff(i+1)*li;
endend

Newton方法

function [f,nn]=interpolationNewton(xx,ff,x)nx=length(xx)-1;
fnew=ff;
for j=1:nx for i=j:nx        fnew(i+1)=(ff(i+1)-ff(i))/(xx(i+1)-xx(i+1-j));endff(j+1:nx+1)=fnew(j+1:nx+1);
end
f=ff(1);
for j=1:nx    xt=1;for i=1:jxt=xt*(x-xx(i));endf=f + ff(j+1)*xt;
end
nn=ff;end

算例

使用上述Lagrange与Newton方法对函数11+x2\frac{1}{1+x^2}在区间[−5,5][-5,5]上进行10阶插值。
红线为函数值，绿线为Lagrange方法插值结果，蓝点为Newton方法插值结果。