多项式插值中的一些定理证明

期末复习中整理的一些证明

多项式插值定理
多项式差值误差定理
Hermite插值误差估计定理
Hermite插值存在唯一性定理

多项式插值定理

若x0,x1,⋯,xnx_0,x_1,\cdots,x_n是不同实数，则对任意的数值y0,y1,⋯,yny_0,y_1,\cdots,y_n，存在唯一的次数最多是nn次的多项式满足**

p(xi)=yi,i=0,1,⋯,n

p(x_i)=y_i,i=0,1,\cdots,n

证明：设p(x)=a0+a1x+⋯+anxnp(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n,则有方程:

a0+a1xi+⋯+anxni=yi,i=0,1,⋯,n

a_0+a_1x_i+\cdots+a_nx_i^n=y_i,i=0,1,\cdots,n
将它们写成矩阵的形式

⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜11⋮1x1x2⋮xn⋯⋯⋱⋯xn1xn2⋮xnn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎛⎝⎜⎜⎜⎜a0a1⋮an⎞⎠⎟⎟⎟⎟=⎛⎝⎜⎜⎜⎜y0y1⋮yn⎞⎠⎟⎟⎟⎟

\left( \begin{matrix} 1&x_1&\cdots&x_1^n\\ 1&x_2&\cdots&x_2^n\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 1&x_n&\cdots&x_n^n\\ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a_0\\ a_1\\ \vdots\\ a_n\\ \end{matrix} \right)= \left( \begin{matrix} y_0\\ y_1\\ \vdots\\ y_n\\ \end{matrix} \right)
又

∣∣∣∣∣∣∣11⋮1x1x2⋮xn⋯⋯⋱⋯xnxn⋮xn∣∣∣∣∣∣∣=∏i≠j(xi−xj)≠0

\left| \begin{matrix} 1&x_1&\cdots&x_n\\ 1&x_2&\cdots&x_n\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 1&x_n&\cdots&x_n\\ \end{matrix} \right|= \prod_{i\neq j}(x_i-x_j) \neq0
由线性代数的知识可知，存在唯一一组 a0,a1,⋯,ana_0,a_1,\cdots,a_n满足以上条件，证毕。

多项式插值误差定理

f(x)∈Cn+1[a,b]f(x)\in C^{n+1}[a,b],p(x)p(x)是ff在区间[a,b][a,b]上n+1n+1个不同点x0,x1,⋯,xnx_0,x_1,\cdots,x_n上的次数不超过nn插值多项式，则对每个x∈[a,b]x \in [a,b]都存在ξx∈[a,b]\xi _x \in [a,b],满足：

f(x)−p(x)=1(n+1)!f(n+1)(ξx)∏i=0n(x−xi)

f(x)-p(x)=\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi _x)\prod_{i=0}^n(x-x_i)

证明：若xx是插值节点中的一个，上式显然成立，下设x≠xix \neq x_i。设ϕ(t)=f(t)−p(t)−λω\phi (t)= f(t) -p(t)-\lambda \omega，其中ω=∏ni=0(t−xi),λ=f(x)−p(x)ω(x)\omega = \prod_{i=0}^n(t-x_i),\lambda = \frac{f(x)-p(x)}{\omega(x)}，则ϕ(t)\phi(t)至少有x,x0,x1,⋯,xnx,x_0,x_1,\cdots,x_n这n+2n+2个不同的根，由罗尔定理，ϕ(n+1)\phi^{(n+1)}至少有一个零点ξx\xi _x,即：

ϕ(n+1)(ξx)=f(n+1)(ξx)−λ(n+1)!=0

\phi^{(n+1)}(\xi _x)=f^{(n+1)}(\xi _x)-\lambda(n+1)!=0
可以得到：

f(x)−p(x)=1(n+1)!f(n+1)(ξx)∏i=0n(x−xi)

f(x)-p(x)=\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi _x)\prod_{i=0}^n(x-x_i)

Hermite插值误差估计定理

f(x)∈C2n+2[a,b]f(x)\in C^{2n+2}[a,b]，x0,x1,⋯,xnx_0,x_1,\cdots,x_n上是区间[a,b][a,b]上n+1n+1个不同点，次数不超过2n+12n+1的多项式p(x)p(x)满足：

p(xi)=f(xi),p′(xi)=f′(xi)

p(x_i)=f(x_i),p'(x_i)=f'(x_i)
则对每个x∈[a,b]x \in [a,b]都存在ξx∈[a,b]\xi _x \in [a,b],满足：

f(x)−p(x)=1(2n+2)!f(2n+2)(ξx)∏i=0n(x−xi)2

f(x)-p(x)=\frac{1}{(2n+2)!}f^{(2n+2)}(\xi _x)\prod_{i=0}^n(x-x_i)^2

证明：若xx是插值节点中的一个，上式显然成立，下设x≠xix \neq x_i。设ϕ(t)=f(t)−p(t)−λω\phi (t)= f(t) -p(t)-\lambda \omega，其中ω=∏ni=0(t−xi)2,λ=f(x)−p(x)ω(x)\omega = \prod_{i=0}^n(t-x_i)^2,\lambda = \frac{f(x)-p(x)}{\omega(x)}，则ϕ(t)\phi(t)至少有x,x0,x1,⋯,xnx,x_0,x_1,\cdots,x_n这n+2n+2个不同于的根，由罗尔定理，ϕ′\phi'至少有n+1n+1个不同于x,x0,x1,⋯,xnx,x_0,x_1,\cdots,x_n的根，又插值节点也都是ϕ′\phi'的根，则ϕ′\phi'至少有2n+22n+2个不同的根，由罗尔定理ϕ(2n+2)\phi^{(2n+2)}至少有一个零点ξx\xi _x,即：

ϕ(2n+2)(ξx)=f(2n+2)(ξx)−λ(2n+2)!=0

\phi^{(2n+2)}(\xi _x)=f^{(2n+2)}(\xi _x)-\lambda(2n+2)!=0
可以得到：

f(x)−p(x)=1(2n+2)!f(2n+2)(ξx)∏i=0n(x−xi)2

f(x)-p(x)=\frac{1}{(2n+2)!}f^{(2n+2)}(\xi _x)\prod_{i=0}^n(x-x_i)^2

Hermite插值的存在唯一定理

存在唯一的次数至多是mm的多项式p(x)p(x)满足：

p(j)(xi)=cij,(j=0,1,⋯,ki−1 i=0,1,⋯,n)

p^{(j)}(x_i)=c_{ij},(j=0,1,\cdots,k_i-1 \ i=0,1,\cdots,n)

m+1=k0+k1+⋯+kn

m+1=k_0+k_1+\cdots+k_n

证明：根据已知条件，可以列出一个由m+1m+1个未知数（即多形式的系数）和m+1m+1个方程组成的方程组，由线性代数的知识可知，方程组存在唯一的解等价于对应的齐次方程只有零解，即：

p(j)(xi)=0,(j=0,1,⋯,ki−1 i=0,1,⋯,n)

p^{(j)}(x_i)=0,(j=0,1,\cdots,k_i-1 \ i=0,1,\cdots,n)
只有零解。则 xix_i至少是 kik_i次根，设：

p(x)=q∏i=0n(x−xi)ki

p(x)=q\prod_{i=0}^n(x-x_i)^{k_i}
次数至少是 m+1m+1,又它是 mm次多项式，则p=0p=0,证毕。

参考

1.《Numerical Analysis》——David Kincaid&Ward Cheney