【15年浙江省赛 C ZOJ 3871】Convex Hull【极角排序】

题意：

给出n个点，n个点共有2^n-1个点集，不包括空集。求每一个点集构成的凸包的面积总和。（n <= 1000）

思路：

由于n比较小，可以考虑n^2复杂度的算法。然后可以想到先枚举一个点i，然后再枚举一个点，就可以构成一条边，但是边和凸包有什么关系呢？考虑到求的是凸包面积，凸包的面积是凸包上的点依次叉乘，即凸包的面积，每条边都有其对应的贡献值。因此本题就变成了枚举两个点，然后求有多少个点可以与这两个点构成一个凸包的问题。

很容易考虑到极角排序，枚举一个点 i，然后以这个点为中心点对其它所有点进行极角排序，再枚举另一个点 j，则i与j构成的边的左半部分区域P1中的所有点的任意非空子集，与点i和点j形成的凸包中，点i与点j一定是凸包上的边。并且在这个凸包上，j刚好是i逆时针方向上的点。凸包求面积的时候，按照逆时针方向逐个计算，因此当前这种情况是唯一的，不存在重复计算。以 j 为中心点，再枚举 i 形成的凸包与以 i 为中心点，再枚举 j 形成的凸包是不同的。

此时还要注意几个细节，图中的点A与点B是不计算到P1区域中点的，因为若这个凸包加入点A或点B，形成的凸包的边就是Bj了，而不是ij。我们只将于i、j同侧的共线点算入点的个数中，不将A、B算入点的个数中。

极角排序后，判断两点的旋转距离是否大于180度，可以事先求出每个点的极角度数，然后就可以方便的比较。我一开始用叉积来判断是否大于180度，发现总是有很多情况没有考虑到，比如是否是自己这一侧的共线点，有无长度为0的点等情况，一直wa，只好放弃改为求极角度数。如果可以用叉积来判断180度，请告知，万分感谢。

代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define rep(i,a,b) for(int i = a; i <= b; i++)
#define LOG1(x1,x2) cout << x1 << ": " << x2 << endl;
#define LOG2(x1,x2,y1,y2) cout << x1 << ": " << x2 << " , " << y1 << ": " << y2 << endl;
#define LOG4(x1,x2,y1,y2,z1,z2,h1,h2) cout << x1 << ": " << x2 << " , " << y1 << ": " << y2 << " , " << z1 << ": " << z2 << " , " << h1 << ": " << h2 << endl;
#define pi acos(-1.0)
#define cross(p1,p2,p3) ((p2.x-p1.x)*(p3.y-p1.y)-(p3.x-p1.x)*(p2.y-p1.y)) //向量(p1,p2)与(p1,p3)叉乘
#define crossOp(p1,p2,p3) sign(cross(p1,p2,p3)) //判断正负，顺时针为负, 为0则代表三点共线
using namespace std;
typedef long long ll;
//实数比较
typedef double db;
const db EPS = 1e-9;
inline int sign(db a) {return a < -EPS ? -1 : a > EPS; } //返回-1表示a < 0, 1表示a > 0, 0表示a = 0
inline int cmp(db a, db b) {return sign(a-b); } //返回-1表示a < b, 1表示a > b，0表示 a==b
const ll mod = 998244353;//点类
struct P {ll x,y;db ang;P() {}P(ll _x, ll _y, ll _z) : x(_x), y(_y), ang(_z) {}ll dot(P p) { return x*p.x+y*p.y; } //点积ll det(P p) { return x*p.y-y*p.x; } //叉积bool operator<(P p) const {return ang < p.ang;}
}am[2000],tp[2000];int n;
ll ans,poww[2000];int main()
{poww[0] = 1; rep(i,1,1010) poww[i] = (poww[i-1]*2)%mod;int _;scanf("%d",&_);while(_--){ans = 0; scanf("%d",&n);rep(i,1,n) scanf("%lld%lld",&am[i].x,&am[i].y);rep(i,1,n){rep(j,1,n) tp[j] = am[j], tp[j].ang = atan2(am[j].y-am[i].y,am[j].x-am[i].x);tp[i] = tp[n]; sort(tp+1,tp+n);rep(j,n,2*n-2) tp[j] = tp[j-n+1], tp[j].ang += 2*pi;int l = 1, r = 1;while(l <= n-1){while(r <= 2*n-2 && tp[r].ang-tp[l].ang < pi) r++;ans = (ans + mod + (((am[i].det(tp[l])+mod)%mod)*(poww[r-l-1]-1))%mod)%mod;l++;}}printf("%lld\n",ans);}return 0;
}

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