计算机开平方的三种算法

要学好计算机，就要学会像计算机一样思考。

对于一个数 x = 9 ，求 $\sqrt{x}$ ，你会毫不犹豫地回答3；如果 x = 784 ？你也能在第一时间说出答案吗？

计算机并不像人一样聪明，它只能按照事先规定好的步骤一步一步地进行，我们称之为算法，算法的魅力就在于能够指导计算机快速精确地解决问题。

以下介绍三种开平方算法。

①穷举法（屎一样的算法，建议从后两个算法看起）：

当人看到x = 9 ，求 $\sqrt{x}$ 时，它会首先在大脑里搜索是否存在直接能用的结果，相信九九乘法表早已刻在你的脑子里，因此你会毫不犹豫地说出， $\sqrt{x}$ = 3；但是当x = 784时，你的脑中不存在 $\sqrt{x}$ 的直接储备，但是你记得25的平方与30的平方这两个节点，而784恰好处在625与900之间，因此，如果运气够好的话，只需要计算26、27、28、29的平方，当然，你的运气足够好， $\sqrt{x}$ = 28.

好了，现在我们将784更换成744，你又如何做呢？显然经过计算你又知道了 $\sqrt{x}$ 在27,28之间，是一个小数，因此你需要猜测，小数点后那一位究竟是多少。

现在，我们用代码模拟以上过程。需要解决以下几个问题：

①为了让计算机快速找到解区间，你需要一个乘法表来存储各个关键节点，那么这个表应该多大呢？如果一个好事者输入了10位整数，我们的计算机能够存储那么大的乘法表吗？

既然这样，不如利用计算机的优势，当场算出相应的区间就好。

②猜测的小数后一位应该是多少呢？

既然找到了区间，不如设定一个步长假设为0.1，依次计算区间内的数据。（27.1，27.2，27.3······）

显然步长越小，计算次数越多。

③计算机无法精确表达浮点数，只能通过设置误差a来确定是否取值（abs(i^2) - x < a），这时你惊奇的发现

27.2^2 = 739.84

27.3^2 = 745.29

因此误差a至少要取到1.29，如果我们设置a = 1，那么就无法得到答案。

如果步长与误差设置不合适，很可能计算机会跳过正确的解。

以上的问题搞得人焦头烂额，让人感觉像食屎一样。

因此很不负责任地得到以下代码（Python为例）

x = int(input("请输入一个数字："))
i = 0const = 0
while(i**2 < x):i+=1const+=1
i -= 1
while(i**2<x):i+=0.01const+=1
print("sqrt(x) = %f,const = %d"%(i,const))

当输入x = 15 sqrt(x) = 3.880000,const = 92

当x = 1928332946 sqrt(x) = 43912.790000,const = 43992

②：二分法

实际上，对于一个数x，其解必定在（0,x）之间，那么将x/2作为猜测值，若大了，说明解在区间（0，x/2）之间，若小了，说明解在区间（x/2，x）。

x = float(input("请输入数字："))
left = 0.0
right = x
a = 0.001
i = x/2
const = 0                   #计步
while(abs(i**2 - x) > a):   #当i^2与x误差小于0.001，退出循环if(i**2 - x < 0):left = ii +=(right-left)/2   #如果真实解在右侧区间，则更新i为新区间中点const+=1else:right = ii -=(right-left)/2    #如果真实解在左侧区间，更新i为新区间中点const+=1
print("sqrt(x) = %f,const = %d"%(i,const))

当x = 15，sqrt(x) = 3.872910,const = 15

x = 1928332946，sqrt(x) = 43912.787955,const = 55

可见精度与运算速度均有极大提高。（算法的魅力）

③牛顿法（姑且这么称呼）：

根据牛顿的理论

对于多项式 P（x） = a*(x^n)+b*(x^(n-1))+c*(x^(n-2))······

若存在近似值r，使得P（r）≈ 0，那么 r - P(r)/P'(r) 的值将比 r 更加接近真实解的值。

那么如何使用呢？

对于求24的平方根，我们可以设P(x)=x^2 - 24,那么P‘(x) = 2*x

这样对于近似值r，设置r = r - (r^2-24)/2*r，这样不断迭代，就可以更加快速地得到近似值。

代码如下：

x = float(input("请输入数字："))
i = x/2
a = 0.0001       #注意这里误差为二分法的0.1倍
const = 0        #计步
while(abs(i**2 - x) > 0.001):i = i - ((i**2-x)/(2*i))const+=1
print("sqrt(x) = %f,const = %d"%(i,const))

当 x = 15 ，sqrt(x) = 3.872983,const = 4

当x = 1928332946，sqrt(x) = 43912.787955,const = 19

代码更加简洁，精度与运算速度再次提高！

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