【复习篇】高等代数第五版重难知识点整理（1）

1.Vandermonde 行列式

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & ... &1 \\ a_{1} & a_{2} & ... & a_{n}\\ a_{1}^{2} & a_{2}^{2} & ... & a_{n}^{2}\\ ... & ... & ... & ...\\ a_{1}^{n-1} & a_{2}^{n-1} & ... & a_{n}^{n-1} \end{vmatrix}= \prod_{1\leq j< i\leq n}^{}\left ( a_{i}-a_{j} \right )$

证明：利用数学归纳法

2.克拉默法则判断是否有解

如果齐次线性方程组

$\left\{\begin{matrix} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + ... + a_{1n}x_{n} =0 \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + ... + a_{2n}x_{n} =0\\ ...\\ a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + ... + a_{nn}x_{n} =0 \end{matrix}\right.$

的系数矩阵的行列式 $\left | A \right |\neq 0$ ,那么它只有零解。换句话说，如果方程组又非零解，那么必有 $\left | A \right |= 0$

3.拉普拉斯定理：设在行列式D中任意取定了k个行。由这k行元素所组成的一切k阶子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D。

4.克拉默法则的逆定理

5.矩阵乘积的秩不超过单个矩阵的秩

6.矩阵A可逆的充分必要条件是

$A^{-1}=\frac{1}{\left | A \right |}A^{\ast }\left ( \left | A \right |\neq 0 \right )$

7.n阶矩阵可逆的充分必要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积

or：可逆矩阵可以经过一系列初等行变化化成单位矩阵

8.分块p131

9.维数公式p176and扩充基定理p174

10.直和的充要条件为 $V_{1}\bigcap V_{2}= \left \{ 0\right \}$

11.同构的充要条件是维数相同

纵览：

1.矩阵：运算（+，-，✖️，转置）

标准单位向量

逆

可逆矩阵与初等变换关系（左行右列）

相抵标准型及其应用

分块矩阵的初等变换

可逆矩阵的求法

解矩阵方程

矩阵秩的定义计算等式不等式

行列式定义性质计算范德蒙

伴随矩阵 crammer法则

2.线性空间

映射（单射，满射）

运算

定义（加法，数乘）

向量的线性关系（相关，无关）

替换定理及证明

向量组等价

极大线性无关组

线性空间基维数坐标

维数公式及证明

坐标变换公式

子空间定义判定

生成子空间定义，性质

子空间的交与和

直和及性质

余子空间

扩充基定理

同构性质

3.线性方程组

非，齐解关系

通解导出组基础解系

一般方程组

唯一解解空间的基

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