数学建模学习1.18——模糊综合评价模型

清风老师课程学习总结

一、概述

二、经典集合和模糊集合的基本概念

三、隶属函数的三种确定方法

四、应用：模糊综合评价（评判）

一、概述

2.数学中研究的量的划分（量可以看作是数字）

3.生活中处处存在模糊性（和确定性相对）

确定性概念：性别、天气、年龄、身高、体重

模糊性概念：帅、高、白、年轻

4.模糊数学的介绍

（1）模糊数学的提出者：1965年美国控制论专家L. A. Zadeh发表的论文“Fuzzy sets”标志着模糊数学的诞生。

（2）模糊数学又称Fuzzy 数学，是研究和处理模糊性现象的一种数学理论和方法。模糊性数学发展的主流是在它的应用方面。由于模糊性概念已经找到了模糊集的描述方式，人们运用概念进行判断、评价、推理、决策和控制的过程也可以用模糊性数学的方法来描述。例如模糊聚类分析、模糊模式识别、模糊综合评判、模糊决策与模糊预测、模糊控制、模糊信息处理等。这些方法构成了一种模糊性系统理论，构成了一种思辨数学的雏形，它已经在医学、气象、心理、经济管理、石油、地质、环境、生物、农业、林业、化工、语言、控制、遥感、教育、体育等方面取得具体的研究成果。——百度百科

二、经典集合和模糊集合的基本概念

1.经典集合（classical set）和特征函数

（1）集合的概念

（2）集合的基本函数

（3）特征函数

2.模糊集合（fuzzy set）和隶属函数

（1）模糊集合的概念

（2）模糊集合的特殊性：亦此亦彼

（3）隶属函数

（4）模糊集合表示方法

（5）模糊集合分类

三、隶属函数的三种确定方法

回顾：随着x增加，隶属度逐渐增加；隶属函数不唯一，可以是直线，也可以是抛物线

1.模糊统计法（数模比赛中很少用，要设计发放问卷，可能来不及，但实际做研究用的较多），写论文中使用较多——主观性最弱

原理：找多个人去对同一个模糊概念进行描述，用隶属频率去定义隶属度。

举例：定义“年轻人”的隶属函数

（1）定义人的年龄为论域U,调查n个人

（2）让这n个人仔细考虑好“年轻人”的含义后，给出他（她）们认为的最合适的年龄区间

（3）对于任意一个确定的年龄，例如25岁，若这n个人中有m个人的年龄区间包含有25，则称m/n为25岁对于“年轻人”的隶属频率

（4）像此类推，我们可以退出所有年龄对于“年轻人”的隶属频率。

（5）若n很大，隶属频率会趋于稳定。

可以将隶属频率视为隶属度

【没有时间可以用后面两种方法】

2.借助已有的客观尺度（需要有合适的指标，并能收集到数据）

论域	模糊集	隶属度
设备	设备完好	设备完好率
产品	质量稳定	正品率
家庭	小康家庭	恩格尔系数

注意：这里我们找的指标隶属度范围必须介于0~1之间。（如果不是，则可以归一化xixi（

3.指派法(根据问题的性质直接套用某些分布作为隶属函数，主观性较强)

注意：梯形分布用的是最多的

使用方法：

例1：试用柯西分布确定“年轻人”的隶属函数

解：“年轻人”是偏小型，对应的柯西分布为:

根据常识，选择a为20，显然，这里有三个参数：a、α、β

根据生活经验（或者别人的研究成果、常识）a=20,A(30)=0.5

A(30)=0.5的原因是考虑到40岁一般是中年人，那么20~40中间是30，其隶属度可以设为,同时，β在指数部分，倾向于简化模型，将其取做1或者2

例如：当a=20,A(30)=0.5, β=2时，可以解出α=0.01

（重要）例2 已知在某一天SO2的浓度为0.07mg/m3，大气污染中关于SO2的评价标准为

Ⅰ级	Ⅱ级	Ⅲ级	Ⅳ级
0.05	0.15	0.25	0.50

试确定SO2在每个等级中的隶属度

解：Ⅰ级：偏小型

Ⅱ级，Ⅲ级：中间型

Ⅳ级：偏大型

（等号位置无要求，一般使用梯形分布最简单）类比：

带入具体数值，类似于

注：这里使用梯形分布得到的四个评语的隶属度的和恰好为1，使用其他分布得到的隶属度的和不一定为1！因为0.8>0.2,所以只考虑一个因素SO2，我们认为空气质量应为一级。

四、应用：模糊综合评价（评判）

1.评价问题概述

模糊评价问题是要把论域中的对象对应评语集中一个指定的评语或者将方案作为评语集并选择一个最优的方案（两个角度）

在模糊综合评价中引入三个集合：

1）因素集（评价指标集）U={u1,u2,…un} (别和论域搞混) n个

2）评语集（评价的结果）V={v1，v2,…vm} m 个（n和m没有必然关系）

3）权重集（指标的权重）A={a1,a2,…an} (别和集合符号搞混)

例：评价一个学生的表现

U={专业排名，课外实践，志愿服务，竞赛成绩}

V={优，良，差}

A={0.5，0.1，0.1，0.3}

2.一级模糊综合评价模型（级——层次）

问题简单，指标个数较少的考核，用一级模糊综合评判

问题复杂，指标个数较多时，运用多层次模糊综合评判,可以提高精确度

具体步骤

（1）确定因素集。找出多个评价角度，一级中注意n往往比较小（n≤5））相关性不强

（2）确定评语集。找出每个指标的不同评价值形成的不同等级。

（3）确定各因素的权重。方法;Delphi法、加权平均法、众人评估法等

（德尔菲法：又称专家调查法，征求专家意见后写邮件再反馈给专家，再次征求意见，直到意见统一为止）

（数模中建议用层次分析法（无数据），熵权法（有数据））

例 3 某单位对员工的年终综合评定

注：

（1）每一行就是指标ui对于每个评语的隶属度

（2）隶属度用模糊统计法确定

（3）使用层次分析法确定权重——找出判断矩阵

（4）rij是指标i对于评语j的隶属度，其数值与隶属度的计算方式有关，其大小范围在0~1之间。

（5）模糊综合判断矩阵R的大小为n*m(n:指标个数，m:评语个数)

例4 关于空气质量的评价

图片为大气污染物评价标准，今测得某日某地表中这些污染物日均浓度依次为

（0.07，0.20，0.123，5.00，0.08，0.14）——给出实际数据计算隶属度

各污染物权重确定如下（0.1，0.2，0.3，0.3，0.05，0.05）——A（权重集）

试评价当天空气质量等级

注：按照行理解，就是单个指标对于每个指标的隶属

例5 选择最优方案的题目——露天煤矿的边坡设计方案

注：

（1）评语集：方案1，2，3，4

（2）因素集：各项目

（3）隶属函数的确定——借助客观尺度，隶属函数不唯一，只要合理（专家建议/其他人写的文章）就行

（4）把偏小型的隶属函数都转化为偏大型方便比较

（5）可以用在论文里的语言：从隶属函数的构造可以看出，五个因素的隶属函数均经过了正向化处理，即隶属度越大，说明越有利。

（6）采矿成本的隶属函数可以直接定义为(7是表格最大值)

（7）把最后综合评判结果绘制柱形图或者条形图

（8）正向化过程类似于Topsis法

3.多级模糊综合评价模型

（1）引入“多级”的原因

因素集中元素较多，即指标较多，我们可以对其进行归类！归类后可以简化计算。确定权重时，指标越少越容易。

（2）数学建模中一般最多三级

（3）讲解:二级模糊综合评价模型的确定

注：划分因素集时不能有遗漏；

划分时按照相关性

理论部分如图：

例 6 评价学生的表现并作为奖学金的评判标准

解：先把因素集归类：

①同一级因素权重之和为1

②确定评语集

评语集V={一等奖学金、二等奖学金、三等奖学金}

③确定第二级综合评判矩阵(方法：模糊统计法——10个评委投票)

含义：该同学专业课成绩对于U1的隶属度为0.8，即只看专业课成绩，有8位评委认为应该得到一等奖学金，有2位评委认为可以得到二等奖学金。

④确定权重

⑤综合评判

含义：只看成绩一个因素，该同学对于获得一等奖学金的隶属度为0.76

⑥推广：含义：只看国家级竞赛成绩，所有评委都认为他应该得到三等奖学金，, 只看竞赛成绩，对一等奖的隶属度为0.15

⑦推广：同理

⑧第二级的四个综合评判矩阵构建完毕，得到：

⑨ A=[0.4 0.3 0.2 0.1]

⑩ B=A*R=[0.439 0.297 0.1]

答:因为0.439最大，所以获得一等奖学金的隶属度最大，该同学应该被评为一等奖学金。

例7 对某陶瓷厂生产的6中产品的销售前景进行评判

注意：

（1）实际建模比赛中具体的数据不一定会给出，需要自己去搜集

（2）指标必须正向化

（3）隶属函数的选取必须符合正向化过程

（4）一般确定权重和评价指标是专家的工作，实际建模比赛中，大家都不是专家，却又干着专家的工作。

（5）归一化原因是：隶属度位于[0,1]之间。

（6）在论文中画一个排序后的柱状图。

解：

总结模糊综合评价模型