0. 概要

1. 转置矩阵和伴随矩阵

2. 对称矩阵和厄米矩阵

3. 正交矩阵

4. 酉矩阵、幺正矩阵、Unitary Matrix

5. 正交变换、幺正变换、保范性

6. 幺正群

7. 量子门及其可逆性

0. 概要

量子计算、量子信息、量子编程自学笔记系列。

用自己能看懂的方式来表达对于量子计算基础知识的理解。

不求体系完备和逻辑严谨、但求通俗易懂。或能顺便给路过的小伙伴一些参考和启发那是纯属巧合概不认账^-^。

1. 转置矩阵和伴随矩阵

矩阵A的转置矩阵记为 $A^T$ ,其中T表示Transpose。转置矩阵与原矩阵的行与列互为颠倒，即 $A_{i,j} = A^T_{j,i}$ .

复矩阵（复数域上的矩阵）A的伴随（adjoint）矩阵定义为该复矩阵的转置矩阵的共轭矩阵，即 $\overline{A^T}$ ，记为 $A^\dagger$ 。求伴随矩阵的转置和共轭的操作的顺序不影响结果。

列数和行数相等的n*n矩阵称之为方阵，以下的讨论均只限于方阵。

2. 对称矩阵和厄米矩阵

实方阵（元素皆为实数，或者实数域上的n*n矩阵）如果满足： $A = A^T$ ，则称其为（实）对称矩阵。

复方阵（复数域上的n*n矩阵）如果满足： $A = A^{\dagger}$ ，称其为厄米矩阵（Hermitian Matrix），也称自伴随（self-adjoint）矩阵。

很显然，厄米矩阵的对角线元素肯定是实数。（实）对称矩阵当然也属于（复）厄米矩阵。

3. 正交矩阵

实方阵Q如果满足条件 $Q^TQ=I, QQ^T=I$ 的话，则称矩阵Q为正交矩阵。

换句话说，正交矩阵Q与它的转置矩阵互为逆矩阵。

显而易见的是，正交矩阵的行向量集合是标准正交的，列向量集合也是标准正交的。因此，正交矩阵的行向量集合或者列向量集合都构成内积空间 $R^n$ 上的一组标准正交基。

4. 酉矩阵、幺正矩阵、Unitary Matrix

酉矩阵（Unitary Matrix）也称幺正矩阵是正交矩阵的复数拓展，其定义为：如果复方阵与它的厄米（伴随）矩阵互为逆矩阵，则称该矩阵为酉矩阵。

同理，幺正矩阵的行向量集合是标准正交的，列向量集合也是标准正交的。因此，幺正矩阵的行向量集合或者列向量集合都都构成内积空间 $C^n$ 上的一组标准正交基。

5. 正交变换、幺正变换、保范性

每个矩阵够代表一个线性变换。

正交矩阵所代表的线性变换称为正交变换。

幺正矩阵所代表的线性变换称为幺正变换。

由于实数域是复数域的子域，所以，正交矩阵当然也是幺正矩阵，正交变换也是幺正变换。

正交变换和幺正变换具有保范性。范数即“长度”，保范性是指线性变换L作用于某个向量后，作用前后的向量的长度保持不变。保范数的线性变换也称为等度量变换。

可以证明：保范数的线性变换必然是幺正变换。

证明：待补充

幺正矩阵和幺正变换是量子计算领域中最重要的矩阵和变换（之一？）。

6. 幺正群

两个幺正矩阵 $U_1$ 和 $U_2$ 的乘积 $U_1U_2$ 也是幺正矩阵，证明如下：

$(U_1U_2)(U_1U_2)^{\dagger} = (U_1U_2)(U_2^{\dagger}U_1^{\dagger}) = U_1(U_2U_2^{\dagger})U_1^{\dagger}=U_1U_1^{\dagger}=I$

进一步， $\forall n \in \mathbb{N}$ ，所有 $n$ 阶幺正矩阵的集合在矩阵乘法运算下构成一个群，该群被称为n阶幺正群（unitary group）,记为 $U(n,\mathbb{C})$ 。这是基于 $\mathbb{C}$ 的 $n$ 阶一般线性群 $GL(n,\mathbb{C})$ 的子群。

进一步， $\forall n \in \mathbb{N}$ ，所有行列式为1的 $n$ 阶幺正矩阵的集合在矩阵乘法运算下构成一个群，该群被称为n阶特殊幺正群（special unitary group）,记为 $SU(n,\mathbb{C})$ 。 $SU(n,\mathbb{C})$ 是 $U(n,\mathbb{C})$ 的子群，也是基于 $\mathbb{C}$ 的 $n$ 阶一般线性群 $GL(n,\mathbb{C})$ 的子群。

7. 量子门及其可逆性

（以下讨论暂限定于单量子比特及对应的单量子门，多量子比特以后再讨论）

量子门用于对量子比特进行操作运算，从数学的角度上来说就是对量子比特所表示的量子状态执行线性变换。由于，量子比特的状态（表达为向量时）的长度为1，因此量子门所代表的线性变换必定是保范数的。保范数的线性变换必定是幺正变换。也即是说，对应于量子比特门/运算的矩阵都是幺正矩阵。而幺正矩阵（根据其定义）都是可逆的，因此所有的量子门都是可逆的！

最基本的量子门称为泡利门（共有3个，分别记为 $\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z$ ），它们所对应的矩阵称为泡利矩阵，如下所示:

$\sigma_x = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \sigma_y = \begin{bmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{bmatrix}, \sigma_z = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}$

容易证明，三个泡利矩阵均为幺正矩阵。其它更复杂的量子门将在后文讨论。

与之相对的是，在经典世界中，经典逻辑们只有非门（not gate）是可逆的。

本系列主目录：

量子笔记：量子计算祛魅https://chenxiaoyuan.blog.csdn.net/article/details/127251274

参考文献：

[1] 罗伯特.S.苏托尔著，吴攀译：与量子比特共舞，人民邮电出版社

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