0. 概要

1. 纠缠态 vs 可分离态

1.1 由张量积生成的双量子状态

1.2 无法由张量积生成的双量子状态

1.3 双量子系统状态的向量空间

2. 测量的视角 from measurement's perspective

2.1 非纠缠态

2.2 纠缠态1

2.3 纠缠态2：贝尔纠缠态

3. 纠缠度：貌合神离 vs 勾肩搭背 vs 心灵交织

4. 如何制备量子纠缠

5. 超光速通信？

0. 概要

量子计算、量子信息、量子编程自学笔记系列。

用自己能看懂的方式来表述对于量子计算基础知识的理解。

不求体系完备和逻辑严谨、但求通俗易懂。或能顺便给路过的小伙伴一些参考和启发那是纯属巧合概不认账^-^。当然，这里仅限于轮廓的勾勒和要点的连接，对细节感兴趣的话还是要正儿八经地啃正经的参考书。

今年的诺贝尔物理奖的三个获奖者的获奖贡献就是量子纠缠方面的工作，更具体一些说就是通过实验证明贝尔不等式不成立。贝尔不等式（Bell's inequality）是一个有关是否存在完备局域隐变量理论的不等式。贝尔不等式不成立，说明阿尔伯特·爱因斯坦所主张的局域实体论（local realism），其预测不符合量子力学理论。在定域性成立经典物理学中，此一不等式成立。贝尔不等式的数学形式为（其具体内容将在后续章节介绍）：

$|Pxz-Pzy|\leq1+Pxy$

本节介绍量子纠缠。关于贝尔不等式相关的东西会在后续篇章介绍。

以下为了讨论的简便，仅讨论双量子比特系统。由双量子比特系统向多量子比特系统的扩展是一个自然的推广过程。

与此前的讨论相同，‘状态’、‘量子态’、‘态矢量’、‘向量’等在本系列中可以理解为同义词。

文中的基底，除非特别之处，均值计算基底（或者说标准基底）。

1. 纠缠态 vs 可分离态

前面我们已经说过表示双量子系统状态的向量空间可以由两个量子系统状态的向量空间以张量积的形式生成。但是，这话其实只说对了一半。

1.1 由张量积生成的双量子状态

设量子系统1的状态向量空间 $\bold{\Phi}$ 的基底记为{ $|\phi_0\rangle$ ， $|\phi_1\rangle$ }，量子系统2的的状态向量空间 $\bold{\Psi}$ 的基底记为{ $|\psi_0\rangle$ ， $|\psi_1\rangle$ }。之所以这样写是为了表明这是对应于两个不同的单量子系统的（状态）向量空间。然后，为了后面更描述的简洁，可以记为{ $|0\rangle_1$ ， $|1\rangle_1$ }，{ $|0\rangle_2$ ， $|1\rangle_2$ }，这样，如前文所说，双量子系统的基就可以由两个量子系统的基通过张量积运算生成：

最后的简记法中没有区分不同量子系统的下标，但是必须记住前面那个数字对应于第一个量子比特系统的基底，后面那个数字对应于第二个量子比特系统的基底。

令 $\Phi \in \bold{\Phi}$ ， $\Psi \in \bold{\Psi}$ ，则两者的张量积可以生成一个双量子系统的态矢量，如下所示：

$\begin{align} \Phi \otimes \Psi &= (a_0 |0\rangle_0 + a_1 |1\rangle_0) \otimes (b_0 |0\rangle_1 + b_1 |1\rangle_1)\\ &= a_0b_0|00\rangle + a_0b_1|01\rangle + a_1b_0|10\rangle + a_1b_1|11\rangle \\ &= r|00\rangle + s|01\rangle + u|10\rangle + t|11\rangle \end{}$

在最后一行中故意避开了使用原单量子位系统的叠加态的复系数a0/1和b0/1，这样做的意义接下来就会变得清楚了。

将以上演算过程倒过来看，可以理解为以系数为r,s,u,t为系数的双量子位系统态矢量恰好可以分解为两个单量子位系统态矢量的张量积！

但是，我们知道世界并不总是这样友好的，并不是所有的以上形式的4项式都恰好可以做这种分解！

那问题就来了，不能进行以上张量积分解的形如 $r|00\rangle + s|01\rangle + u|10\rangle + t|11\rangle$ 的式子是不是表示了双量子位系统的可能的量子态矢量呢？

1.2 无法由张量积生成的双量子状态

上节提到，不能进行以上张量积分解的形如 $r|00\rangle + s|01\rangle + u|10\rangle + t|11\rangle$ 的式子是不是表示了双量子位系统的可能的量子态矢量呢？

答案是yes。只要能满足 $|r|^2+|s|^2+|u|^2+|t|^2 = 1$

那这种双量子位态矢量与可以进行张量积分解的双量子位态矢量有什么区别呢，它又是如何生成的呢？进一步，是这种不能分解的双量子位态矢量多呢，还是可以进行张量积分解的双量子位态矢量更多呢？

一个简单的判决准则是：

$rt = su ?$

如果以上这个等式成立，则该形如 $r|00\rangle + s|01\rangle + u|10\rangle + t|11\rangle$ 的式子是可以进行张量积分解的；反之，如果不成立，则说明这个式子是不能进行张量积分解的。

【思考题1】请证明以上论断。

大家可能已经猜到了，能够进行张量积分解的形如 $r|00\rangle + s|01\rangle + u|10\rangle + t|11\rangle$ 的双量子位态矢量表示的是非纠缠态或者说可分离态（separable state）；而不能进行张量积分解的就代表了所谓的纠缠态。

那非纠缠态与纠缠态到底有什么不同呢？难道仅仅是能不能完成一个数学游戏（因式分解）嘛？当然不是。

1.3 双量子系统状态的向量空间

基于以上两节的讨论，现在可以来解释在这一张一开始所说的”这话其实只说对了一半“是什么意思了。

一方面，双量子系统状态向量空间的基底可以由两个单量子系统状态空间的基底以张量积的形式生成。

另一方面，并非所有的双量子系统状态向量都能由两个单量子系统状态向量以张量积的形式表达。有很多很多（远远超过可以表达为张量积的那些表兄弟）双量子系统状态向量不能通过两个单量子系统状态向量通过张量积运算生成。单纯地数学运算的角度来说的话，这些代表纠缠态的叠加态虽然不能进行张量积分解，但是可以表达为能够进行张量积分解的非纠缠态的线性组合。

换言之，只凭借张量积形式本身无法完整构建表示双量子系统状态向量空间 $\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2$ ，还要再加上它们（指非纠缠态）的线性组合才行。

【思考题2】请说明为什么可以说双量子系统状态向量空间中表示纠缠态的向量远远多于表示非纠缠态的向量？

2. 测量的视角 from measurement's perspective

形如 $r|00\rangle + s|01\rangle + u|10\rangle + t|11\rangle$ 的双量子位态矢量，根据约定我们知道，观测之后坍缩到各状态的概率分别为：

$\begin{align} P(|00\rangle) &= |r|^2 \\ P(|01\rangle) &= |s|^2 \\ P(|10\rangle) &= |u|^2 \\ P(|11\rangle) &= |t|^2 \end{}$

现在我们来看看关于纠缠态和非纠缠态分别在不同的观测次序下对观测结果会不会有什么影响。

2.1 非纠缠态

如上所述，非纠缠态可以分解为张量积，因此可以写成：

$\begin{align} |\bold{w}\rangle &= r|00\rangle + s|01\rangle + u|10\rangle + t|11\rangle \\&= (a_0 |0\rangle_1 + a_1 |1\rangle_1)\otimes (b_0 |0\rangle_2 + b_1 |1\rangle_2) \\ &=a_0 |0\rangle_1\otimes (b_0 |0\rangle_2 + b_1 |1\rangle_2) + a_1 |1\rangle_1\otimes (b_0 |0\rangle_2 + b_1 |1\rangle_2) \\ &= (a_0 |0\rangle_1 + a_1 |1\rangle_1)\otimes b_0 |0\rangle_2 + (a_0 |0\rangle_1 + a_1 |1\rangle_1)\otimes b_1 |1\rangle_2 \end{}$

考虑先对第一个量子比特进行观测，则：

所以你看，无论第一个量子比特的观测结果是什么，第二个量子比特都会变成相同的叠加态。反过来，如果先测第二个量子比特，无论观测结果是什么，第一个量子比特都会变成相同的叠加态。

这意味着什么呢？这意味着对于这个双量子系统的状态来说，观测顺序对观测结果没有影响。更具体一点来说，无论先观测那个量子，无论观测结果是什么，都不会影响到另一个量子的状态及其观测结果。

而这正是非纠缠态的特征。虽然强行地将两者撮合在一起构成双量子系统，但是两个家伙同床异梦，互不干涉，形同陌路。

说完了非纠缠态的观测结果与观测顺序的关系，接下来看看纠缠态是个什么情况，是不是能体现出跟非纠缠态不同的地方来。

2.2 纠缠态1

接下来我们考虑一个双量子系统状态矢量 $|\bold{w}\rangle = \frac{1}{2}|00\rangle + \frac{1}{2}|01\rangle + \frac{\sqrt{2}}{2}|11\rangle$ (这里用具体的数值系数，而不是符号系数，是为了方便特殊性的描述)。根据前述 $rt = su ?$ 判据，很容易判断该双量子位系统处于纠缠态，我们来考虑按不同顺序进行观测会对观测结果有何影响。

考虑先对第一个量子比特进行观测。将以上双量子叠加态改写成：

$|\bold{w}\rangle = |0\rangle_1 \otimes (\frac{1}{2}|0\rangle_2 + \frac{1}{2}|1\rangle_2) + \frac{\sqrt{2}}{2}|1\rangle_1 \otimes |1\rangle_2$

由此可知，第一个量子比特的观测有一半的概率得到状态0；另一半的概率得到状态1。如果得到状态0，则第二个量子比特的状态将变为 $\frac{1}{2}|0\rangle_2 + \frac{1}{2}|1\rangle_2$ ；如果得到状态1，则第二个量子比特的状态将变为 $|1\rangle_2$ 。也就是说，根据第一个量子比特的观测的结果，第二个量子比特可能变成两种不同的叠加态，其后进一步对第二个量子比特的观测自然也是不同的。

反过来，先对第二个量子比特进行观测也会得到相似的结果。根据第二个量子比特的观测的结果，第一个量子比特可能变成两种不同的叠加态，其后进一步对第一个量子比特的观测自然也是不同的。

当然，不管观测顺序如何，最后得到的4种不同基态的概率都会是相同的。

虽然如上所述，对一个量子比特的观测结果会影响对另一个量子比特的观测结果，但是第一个量子比特观测结果并没有完全决定第二个量子比特的观测结果，比如说以上第一个量子比特的观测得到状态0的情况。从这个意义上来说，我们可以说这个纠缠态纠缠得不是那么紧密。

2.3 纠缠态2：贝尔纠缠态

接下来我们考虑一个双量子系统状态矢量 $|\bold{w}\rangle = \frac{\sqrt{2}}{2}|01\rangle + \frac{\sqrt{2}}{2}|10\rangle$ 。同样根据前述 $rt = su ?$ 判据，很容易判断该双量子位系统处于纠缠态，接下来考虑按不同顺序进行观测会对观测结果有何影响。

考虑先对第一个量子比特进行观测。如果测量得到状态0，则显而易见第二个量子比特立即会变成（此前与第一个量子比特的状态0纠缠在一起的）状态1；如果测量得到状态1，则第二个量子比特立即会变成（此前与第一个量子比特的状态1纠缠在一起的）状态0。

反过来，考虑先对第二个量子比特进行观测。结果与以上相似，一旦观测到了第二个量子比特的状态，第一个量子比特的状态也同时确定。

这正是在一把科普文章中最常见于描述的那种纠缠态，对一个进行观测会同时确定另一个的状态。显然，这是比上一种情况纠缠得更加紧密的纠缠态！

这种纠缠态被称为贝尔纠缠态（得名于那个著名的贝尔不等式的提出者爱尔兰物理学家约翰.斯图亚特.贝尔。）贝尔纠缠态共有四种如下所示：

$\begin{align} \bold{\Phi}^+\rangle &= \frac{\sqrt{2}}{2}|00\rangle + \frac{\sqrt{2}}{2}|11\rangle \\ \bold{\Phi}^-\rangle &= \frac{\sqrt{2}}{2}|00\rangle - \frac{\sqrt{2}}{2}|11\rangle \\ \bold{\Psi}^+\rangle &= \frac{\sqrt{2}}{2}|01\rangle + \frac{\sqrt{2}}{2}|10\rangle \\ \bold{\Psi}^-\rangle &= \frac{\sqrt{2}}{2}|01\rangle - \frac{\sqrt{2}}{2}|10\rangle \end{align}$

【思考题3】4个贝尔态构成 $\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2$ 的一组标准正交基。试证明。

3. 纠缠度：貌合神离 vs 勾肩搭背 vs 心灵交织

这是属于我个人的八卦式私货^-^。

貌合神离：非纠缠态

勾肩搭背：一个量子的观测会对另一个量子观测结果产生影响，但是并非确定性的影响

心灵交织：一个量子的观测结果完全决定了另一个量子观测结果

4. 如何制备量子纠缠

coming soon

5. 超光速通信？

考虑这样一个思想实验。假设我们有处于贝尔纠缠态的一对纠缠粒子，分别由爱丽丝（Alice）和鲍勃（Bob）携带保管（顺便说一下，Alice和Bob经常出现在相关科普之中的原因在于TA们英文名字首字母分别是A和B，嗯，仅此而已）。假设鲍勃乘坐一个航天器飞往系外行星（为什么是鲍勃飞往外星球而不是爱丽丝呢？飞往系外行星比较幸苦嘛，当然应该是男生去做^-^），爱丽丝则留在地球上的控制中心。

航天器到达了系外行星后，让我们来看看鲍勃有没有可能利用量子纠缠向爱丽丝发送有效的信息？比如说，鲍勃的任务是探测某系外行星是否是宜居的。并且鲍勃和爱丽丝已经约定了如果鲍勃向爱丽丝发送了1就表示肯定的答案，发送0就表示否定的答案。

现在，鲍勃发现这颗系外行星是宜居的，那他能够利用量子纠缠向爱丽丝发送”1“吗？

鲍勃要利用量子纠缠向爱丽丝发送信息，所能做的就是观测他手中的粒子。当他这样做时，我们知道，他有50%的概率会得到“0”和“1”；然后，爱丽丝再测量她手头的粒子时会得到完全依赖于鲍勃测量结果的一个结果（具体是0-->0还是0-->1取决于使用的是何种纠缠态）。

然而，这达到了传输有效信息的作用吗？没有。

关键的是，鲍勃对于他的测量所得到的结果没有任何发言权或影响力，鲍勃不能确定性地让他手中的粒子坍缩到某一个特定的状态，所以他无法确定性地发出“1”的信息。所以，虽然，当爱丽丝在预期的时间查看她的粒子时，爱丽丝所看的的结果完全取决鲍勃的观测结果，TA们两人无法利用这一对纠缠的粒子传递任何有效的信息。

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参考文献

[1] 人人可懂的量子计算，克里斯.伯恩哈特著，邱道文等译，机械工业出版社

[2] 量子计算：一种应用方法，杰克.希德里著，姚彭晖等译，人民邮电出版社

[3] 与量子比特共舞，罗伯特.S.苏托尔著，吴攀译，人民邮电出版社

[4] 图解量子计算机，宇津木健著，胡屹译，人民邮电出版社

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量子笔记：量子纠缠祛魅，贝尔纠缠态

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1.2 无法由张量积生成的双量子状态

1.3 双量子系统状态的向量空间

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2.1 非纠缠态

2.2 纠缠态1

2.3 纠缠态2：贝尔纠缠态

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4. 如何制备量子纠缠

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