二项分布

问题描述：

二项分布就是重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布服从0-1分布。

假设伯努利实验中事件发生的概率为p，求n次独立的伯努利实验，事件发生k次的概率。

数学公式

我们都知道，上述问题可采用公式(1)：

P(X=k)=Cknpk(1−p)n−k式(1)

P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k} \quad\quad 式(1)
计算，其中

Ckn=n!k!(n−k)!式(2)

C_n^k = \dfrac{n!} {k! (n-k)!} \quad\quad 式(2)

我们还知道：

Ckn=n!k!(n−k)!=(n−1)!k!(n−1−k)!+(n−1)!(k−1)!(n−k)!=Ckn−1+Ck−1n−1式(3)

C_n^k = \dfrac{n!} {k! (n-k)!} = \dfrac{(n-1)!} {k! (n-1-k)!} + \dfrac{(n-1)!} {(k-1)! (n-k)!}= C_{n-1}^k + C_{n-1}^{k-1} \quad\quad 式(3)

于是：

Cknpk(1−p)n−k=(1−p)Ckn−1pk(1−p)n−1−k+pCk−1n−1pk−1(1−p)n−k式(4)

C_n^k p^k (1-p)^{n-k} = (1-p) C_{n-1}^k p^k (1-p)^{n-1-k}+ p C_{n-1}^{k-1}p^{k-1}(1-p)^{n-k} \quad\quad 式(4)

我们记

f(n,k)=Cknpk(1−p)n−k式(5)

f(n, k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} \quad\quad 式(5)

于是我们有：

f(n,k)=(1−p)f(n−1,k)+pf(n−1,k−1)式(6)

f(n, k) = (1-p) f(n-1, k) + p f(n-1, k-1) \quad\quad 式(6)

算法：

递归算法：

算法思想：

递归算法思想就是来源于上面的公式(6)，我们只需要找到递归出口，也就是最基本的情况就行了。
很明显：我们有

f(n,k)=⎧⎩⎨⎪⎪(1−p)f(n−1,k)+pf(n−1,k−1)ifn>k,k>01.0 ifk=n=0式(7)0.0 ifk>n或者n<0或者k<0

f(n, k) = \begin{cases} (1-p) f(n-1, k) + p f(n-1, k-1) \quad if \quad n > k, k >0 \\ 1.0 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ if \quad k = n = 0 \quad\quad\quad 式(7) \\ 0.0 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ if \quad k > n 或者 n

递归算法代码：

    /*** 时间复杂度：O(2^n)* @param N* @param K* @param p* @return 伯努利实验n次，事件发生k次的概率*/public static double binomialRec(int N, int K, double p) {if (N == 0 && K == 0) return 1.0;if (N < 0 || K < 0) return 0.0;return (1.0 - p) * binomialRec(N - 1, K, p) + p * binomialRec(N - 1, K - 1, p);}

非递归算法

算法思想：

上述递归算法的时间复杂度太高，当n比较大时，可能都运行不出结果。之所以时间复杂度太高，是因为有大量的重复计算，于是很直观的想法就是，把已经算出来的结果存储到数组里。由于是计算实验n次，事件发生k次的概率，所以我们可以用二维数组存放计算的中间结果。

非递归算法代码：

/*** * 伯努利实验，实验n次，出现k次的概率* 非递归方式实现，采用二维数组存储已经计算过的值* 时间复杂度：O(n * k)，空间复杂度：O(n * k)* @param n* @param k* @param p* @return*/public static double binomialArray(int n, int k, double p) {double[][] array = new double[n+1][k+1];// Initilize arrayfor (int i = 0; i <= n; i++) {for (int j = 0; j <= k; j++) {array[i][j] = 0;}}array[0][0] = 1.0;for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 0; j <= k; j++) {if (j > i) {break;}if (i - 1 >= 0) {array[i][j] += (1.0 - p) * array[i-1][j];if (j - 1 >= 0) {array[i][j] += p * array[i-1][j-1];}}}}return array[n][k];}

非递归算法改进

算法思想：上述非递归算法中，我们使用的是二维数组存放计算过的值，但我们发现，在计算array[i][j]时，只与其上一行的array[i-1][j]和array[i-1][j-1]有关，与其他值无关，所以我们可以使用一维数组来实现。这样空间复杂度可以降低到O(k).

非递归算法改进代码：

    /*** 伯努利实验，实验n次，出现k次的概率* 非递归方式实现，采用一维数组实现存储计算过的值* 时间复杂度：O(n * k)，空间复杂度：O(k)* @param n* @param k* @param p* @return */public static double binomial(int n, int k, double p) {double[] array = new double[k+1];for (int i = 0; i < array.length; i++) {array[i] = 0.0;}array[0] = 1.0;for (int i = 1; i <= n; i++) {// 这里要倒着计算，因为正序计算新值会覆盖掉之前的旧值for (int j = k; j >= 0; j--) {if (j - 1 >= 0) {array[j] = (1.0 - p) * array[j] + p * array[j-1];}else {array[j] = (1.0 - p) * array[j];}}}return array[k];}

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二项分布算法（伯努利实验）

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