首先要声明，图片的算法有很多，如JPEG算法，SVD对图片的压缩可能并不是最佳选择，这里主要说明SVD可以降维

相对于PAC(主成分分析)，SVD(奇异值分解)对数据的列和行都进行了降维，左奇异矩阵可以用于行数的压缩。相对的，右奇异矩阵可以用于列数即特征维度的压缩，也就是我们的PCA降维。

一张二维n*m的灰度图片可以看做是n*m的矩阵，利用SVD可以实现对二维图像的压缩

1、按照灰度图片进行压缩：

#-*- coding: utf-8 -*

import numpy as np

from PIL import Image

def svd_restore(sigma, u, v, K):

K = min(len(sigma)-1, K) #当K超过sigma的长度时会造成越界

print 'Now restore the image with %d ranks' % K

m = len(u)

n = v[0].size

SigRecon = np.zeros((m, n)) #新建一int矩阵，储存恢复的灰度图像素

for k in range(K+1): #计算X=u*sigma*v

for i in range(m):

SigRecon[i] += sigma[k] * u[i][k] * v[k]

SigRecon = SigRecon.astype('uint8') #计算得到的矩阵还是float型，需要将其转化为uint8以转为图片

Image.fromarray(SigRecon).save("svd_" + str(K) + "_" +image_file) #保存灰度图

image_file = u'1.jpg'

if __name__ == '__main__':

im = Image.open(image_file) #打开图像文件

im = im.convert('L') #将原图像转化为灰度图

im.save("Gray_" + image_file) #保存灰度图

w, h = im.size #得到原图的长与宽

dt = np.zeros((w, h), 'uint8') #新建一int矩阵，储存灰度图各像素点数据

for i in range(w): #逐像素点复制，由于直接对im.getdata()进行数据类型转换会有偏差

for j in range(h):

dt[i][j] = im.getpixel((i, j))

dt = dt.transpose() #复制过来的图像是原图的翻转，因此将其再次翻转到正常角度

u, sigma, v = np.linalg.svd(dt)#调用numpy库进行SVM

u = np.array(u) #转为array格式，方便进行乘法运算

v = np.array(v) #同上

for k in [1, 10, 20, 30, 50, 80, 100, 150, 200, 300, 500]:

svd_restore(sigma, u, v, k)#使用前k个奇异值进行恢复

奇异值分别取1, 10, 20, 30, 50, 80, 100, 150, 200, 300, 500的降维压缩效果(原始图片为1.jpg)

2、按照彩色图片进行压缩

#-*- coding: utf-8 -*

from PIL import Image

import numpy as np

def rebuild_img(u, sigma, v, p):#p表示奇异值的百分比

#print p

m = len(u)

n = len(v)

a = np.zeros((m, n))

count = (int)(sum(sigma))

curSum = 0

k = 0

print sigma[0:2],count* p

while curSum <= count * p:

uk = u[:, k].reshape(m, 1)

vk = v[k].reshape(1, n)

#print curSum,count,'--------',k

a += sigma[k] * np.dot(uk, vk)

curSum += sigma[k]

k += 1

#print k

print 'k:',k

a[a < 0] = 0

a[a > 255] = 255

#按照最近距离取整数，并设置参数类型为uint8

return np.rint(a).astype("uint8")

if __name__ == '__main__':

img = Image.open(u'招商.jpg', 'r')

a = np.array(img)

#print a[:, :, 0]

# u, sigma, v = np.linalg.svd(a[:, :, 0])

# R = rebuild_img(u, sigma, v, 0.9)

for p in np.arange(0.1, 1, 0.1):

u, sigma, v = np.linalg.svd(a[:, :, 0])

R = rebuild_img(u, sigma, v, p)

u, sigma, v = np.linalg.svd(a[:, :, 1])

G = rebuild_img(u, sigma, v, p)

u, sigma, v = np.linalg.svd(a[:, :, 2])

B = rebuild_img(u, sigma, v, p)

I = np.stack((R, G, B), 2)

#保存图片在img文件夹下

Image.fromarray(I).save("aq\\svd_" + str(int(p * 100)) + ".jpg")

RGB三个通道信息量均按照按照0.1-0.9压缩的图片对比：

2、matplotlib展示压缩前后对比(灰度)

#-*- coding: utf-8 -*

import numpy as np

from scipy import ndimage

import matplotlib.pyplot as plt

def pic_compress(k, pic_array):

u, sigma, vt = np.linalg.svd(pic_array)

sig = np.eye(k) * sigma[: k]

new_pic = np.dot(np.dot(u[:, :k], sig), vt[:k, :]) # 还原图像

size = u.shape[0] * k + sig.shape[0] * sig.shape[1] + k * vt.shape[1] # 压缩后大小

return new_pic, size

filename = u"招商.jpg"

ori_img = np.array(ndimage.imread(filename, flatten=True))

new_img, size = pic_compress(100, ori_img)

print("original size:" + str(ori_img.shape[0] * ori_img.shape[1]))

print("compress size:" + str(size))

fig, ax = plt.subplots(1, 2)

ax[0].imshow(ori_img)

ax[0].set_title("before compress")

ax[1].imshow(new_img)

ax[1].set_title("after compress")

plt.show()

运行效果：

参考文献：

利用奇异值分解(SVD)简化数据

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