本文主要关注的是有关 “怎样的矩阵能够进行 XX 分解” 的问题，具体分解的实现方式在这里不做归纳。
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1 LU 分解

1.1 能否进行 LU 分解

当矩阵 A A A 的部分顺序主子式为 0 0 0，经过高斯消元后无法化为上三角矩阵，则不可进行LU分解，例如
[ 1 2 3 2 4 1 4 6 7 ] → [ 1 2 3 0 0 − 5 0 − 2 − 5 ] \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 1 \\ 4 & 6 & 7 \end{bmatrix} \to\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & -5 \\ 0 & -2 & -5 \end{bmatrix} ⎣⎡124246317⎦⎤→⎣⎡10020−23−5−5⎦⎤

1.2 LU 分解的唯一性

当矩阵 A A A 的各阶顺序主子式都不为 0 0 0 时，LU分解唯一
当矩阵 A A A 的部分顺序主子式为 0 0 0，但经过高斯消元后能化为上三角矩阵 (对角线上的元素可为 0 0 0)，则可进行LU分解 (不唯一)，例如
[ 1 1 1 2 2 1 3 3 1 ] → [ 1 1 1 0 0 − 1 0 0 − 2 ] \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \end{bmatrix} \to\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix} ⎣⎡123123111⎦⎤→⎣⎡1001001−1−2⎦⎤

2 QR 分解

2.1 能否进行 QR 分解

当且仅当原矩阵 A A A 的各列向量相互独立时，才能进行 QR 分解

3 特征分解 A = X Λ X − 1 A=X\Lambda X^{-1} A=XΛX−1

X , Λ X, \Lambda X,Λ 分别为 A A A 的特征向量与特征值矩阵, 其中特征值一般默认是从大到小排列在对角线上

3.1 能否进行特征分解

可以特征分解要求 A A A 必须是一个可对角化的矩阵, 满足以下任一条件即可

A A A 可逆
n n n 个线性无关的特征向量/ n n n 个不同的特征值
所有特征值的代数重数 = 几何重数
实对称矩阵

4 对称对角化 S = Q Λ Q T S=Q\Lambda Q^T S=QΛQT

S S S 为实对称矩阵, Q Q Q 为正交矩阵, 即满足 Q T = Q − 1 Q^T=Q^{-1} QT=Q−1

5 奇异值分解 A = U Σ V T A=U\Sigma V^T A=UΣVT

待完成

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