奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是一种矩阵分解（Matrix Decomposition）的方法。除此之外，矩阵分解还有很多方法，例如特征分解（Eigendecomposition）、LU分解（LU decomposition）、QR分解（QR decomposition）和极分解（Polar decomposition）等。这篇文章主要说下奇异值分解，这个方法在机器学习的一些算法里占有重要地位。

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定义

下面引用 SVD 在维基百科中的定义。

In linear algebra, the singular value decomposition (SVD) is a factorization of a real or complex matrix. It is the generalization of the eigendecomposition of a positive semidefinite normal matrix (for example, a symmetric matrix with positive eigenvalues) to any m×nm×n matrix via an extension of polar decomposition.

也就是说 SVD 是线代中对于实数矩阵和复数矩阵的分解，将特征分解从 半正定矩阵 推广到任意 m×nm×n 矩阵。

注意：本篇文章内如未作说明矩阵均指实数矩阵。

假设有 m×nm×n 的矩阵 AA ，那么 SVD 就是要找到如下式的这么一个分解，将 AA 分解为 3 个矩阵的乘积：

其中，UU 和 VV 都是正交矩阵 （Orthogonal Matrix），在复数域内的话就是酉矩阵（Unitary Matrix），即

换句话说，就是说 UU 的转置等于 UU 的逆，VV 的转置等于 VV 的逆：

而 ΣΣ 就是一个非负实对角矩阵。

那么 UU 和 VV 以及 ΣΣ 是如何构成的呢？

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求解

UU 和 VV 的列分别叫做 AA 的 左奇异向量（left-singular vectors）和 右奇异向量（right-singular vectors），ΣΣ 的对角线上的值叫做 AA 的奇异值（singular values）。

其实整个求解 SVD 的过程就是求解这 3 个矩阵的过程，而求解这 3 个矩阵的过程就是求解特征值和特征向量的过程，问题就在于 求谁的特征值和特征向量。

U 的列由 $AA^{T}$ 的单位化过的特征向量构成
V 的列由 $A^{T}A$ 的单位化过的特征向量构成
Σ 的对角元素来源于 $AA^{T}$ 或 $A^{T}A$ 的特征值的平方根，并且是按从大到小的顺序排列的

知道了这些，那么求解 SVD 的步骤就显而易见了：

求 $AA^{T}$ 的特征值和特征向量，用单位化的特征向量构成 U
求 $A^{T}A$ 的特征值和特征向量，用单位化的特征向量构成 V
将 $AA^{T}$ 或者 $A^{T}A$ 的特征值求平方根，然后构成 Σ

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举例

假设

那么可以计算得到

接下来就是求这个矩阵的特征值和特征向量了

要想该方程组有非零解（即非零特征值），那么系数矩阵 $AA^{T}$ −λE 的行列式必须为 0

求解这个行列式我就不再赘述了，这个直接使用行列式展开定理就可以了，可以得到 λ1≈29.86606875，λ2≈0.13393125，λ3=λ4=0，有 4 个特征值，因为特征多项式 | $AA^{T}$ −λE| 是一个 4 次多项式。对应的单位化过的特征向量为

这就是矩阵 U 了。

同样的过程求解 $A^{T}A$ 的特征值和特征向量，求得 λ1≈0.13393125，λ2≈29.86606875，将特征值降序排列后对应的单位化过的特征向量为

这就是矩阵 V 了。

而矩阵 Σ 根据上面说的为特征值的平方根构成的对角矩阵

到此，SVD 分解就结束了，原来的矩阵 A 就被分解成了 3 个矩阵的乘积。

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Numpy 实现

Python 中可以使用 numpy 包的 linalg.svd() 来求解 SVD。

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