前言

高中数学中没有提到齐次式，但是在具体运算中时不时的会用到这一理论，故做以总结。与齐次式紧密相关的是“变量集中策略”.¹

相关概念

以表达式\(2x^2-3xy+y^2\)为例，其中的每一项的次数都是二次的，平齐的，故\(2x^2-3xy+y^2\)称为关于\(x，y\)的二次齐次式；\(3x+4y\)是关于\(x\)，\(y\)的一次齐次式；

那么\(2x^2-3x+y^2\)不能成为二次齐次式，原因是中间项\(3x\)为一次式。

引申拓展：

• 关于\(x，y\)的一次齐次式：

举例：\(3x+4y\)，\(2x\)，\(5y\)；

• 关于\(x，y\)的二次齐次式：

举例：\(3x^2-4xy+2y^2\)；\(x^2+2y^2\)；\(2x^2+3xy\)；\(2xy+3y^2\)；

• 关于\(sin\theta，cos\theta\)的一次齐次式：

举例：\(2sin\theta-3cos\theta\)，\(3sin\theta\)，\(4cos\theta\)；

• 关于\(sin\theta，cos\theta\)的二次齐次式：

举例：\(3sin^2\theta-4sin\theta cos\theta+2cos^2\theta\)；\(sin^2\theta+2cos^2\theta\)；\(2sin^2\theta+3sin\theta cos\theta\)；\(2sin\theta cos\theta+3cos^2\theta\)；

常见形式

由于是齐次式，所以常常可以利用变量集中思想，减少变量的个数，常涉及到的变形有变量集中，分数裂项法，

• 如关于\(x，y\)的一次齐次式的分式形式常用的下述变换：

\(\cfrac{2x+3y}{x-y}=\cfrac{2\frac{x}{y}+3}{\frac{x}{y}-1}\xlongequal[令\frac{x}{y}=t]{换元法}\cfrac{2t+3}{t-1}\)

\(=\cfrac{2t-2+5}{t-1}=2+\cfrac{5}{t-1}\)

• 如关于\(x，y\)的二次齐次式的分式形式常用的下述变换：

\(z=\cfrac{x^2+y^2}{xy}=\cfrac{x}{y}+\cfrac{y}{x}=k+\cfrac{1}{k}\)；

• 关于\(sin\theta，cos\theta\)的一次或二次齐次式的分式形式常用的下述变换：

比如：\(\cfrac{a\sin\theta+b\cos\theta}{c\sin\theta+d\cos\theta}\xlongequal[分子分母是sin\theta,cos\theta的一次齐次式]{分子分母同除以cos\theta}\cfrac{a\tan\theta+b}{c\tan\theta+d}\) (\(a,b,c,d\)为常数)；

小结：实现了二元\(sin\theta、cos\theta\)向一元\(tan\theta\)的转化；

比如：\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}=\cfrac{2sin\theta cos\theta-cos^2\theta}{2sin^2\theta+cos^2\theta}\xlongequal[分子分母是sin\theta,cos\theta的二次齐次式]{分子分母同除以cos^2\theta}\cfrac{2tan\theta-1}{2tan^2\theta+1}\)

小结：实现了二元\(sin\theta、cos\theta\)向一元\(tan\theta\)的转化；

再比如：\(a\sin2\theta+b\cos2\theta=\cfrac{a\sin2\theta+b\cos2\theta}{sin^2\theta+cos^2\theta}=\cfrac{a\tan\theta+b-b\tan^2\theta}{tan^2\theta+1}\)，

其余留作思考：\(\sin2\theta\)， \(\cos2\theta\)，\(1+\sin2\theta\)， \(2-\cos2\theta\)，\(3\sin2\theta-2\cos2\theta\) 等等

①\(z=\cfrac{a+\sqrt{2}b}{\sqrt{2}a+b}\)；分子分母同除以\(b\)变形得到，\(z=\cfrac{\frac{a}{b}+\sqrt{2}}{\sqrt{2}\frac{a}{b}+1}\xlongequal{t=\frac{a}{b}}\cfrac{t+\sqrt{2}}{\sqrt{2}t+1}\)

②\(z=\cfrac{2a^2+4ab-3b^2}{a^2+ab+b^2}\)；分子分母同除以\(b^2\)变形得到，\(z=\cfrac{2(\frac{a}{b})^2+4\frac{a}{b}-3}{(\frac{a}{b})^2+\frac{a}{b}+1}\xlongequal{t=\frac{a}{b}}\cfrac{2t^2+4t-3}{t^2+t+1}\)

③\(\cfrac{a\sin\theta+b\cos\theta}{c\sin\theta+d\cos\theta}\xlongequal[分子分母是sin\theta,cos\theta的一次齐次式]{分子分母同除以cos\theta}\cfrac{a\tan\theta+b}{c\tan\theta+d}\) (\(a,b,c,d\)为常数)；

④\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}=\cfrac{2sin\theta cos\theta-cos^2\theta}{2sin^2\theta+cos^2\theta}\xlongequal[分子分母是sin\theta,cos\theta的二次齐次式]{分子分母同除以cos^2\theta}\cfrac{2tan\theta-1}{2tan^2\theta+1}\)

⑤\(a^2-5ab+4b^2>0\)，不等式两端同除以\(b^2\)变形得到，\((\cfrac{a}{b})^2-5\cfrac{a}{b}+4>0\)，这样我们能得到\(\cfrac{a}{b}<1\)或\(\cfrac{a}{b}>4\)；

⑥\(c^2-4ac+4a^2=0\)，变形得到\((\cfrac{c}{a})^2-4\cfrac{c}{a}+4=0\)，即\(e^2-4e+4=(e-2)^2=0\)。

典例剖析

例01已知\(tan\alpha=\cfrac{1}{2}\)，求\(sin^4\alpha-cos^4\alpha\)的值。

【法1】：方程组法，由\(\left\{\begin{array}{l}{\cfrac{sin\alpha}{cos\alpha}=\cfrac{1}{2}}\\{sin^2\alpha+cos^2\alpha=1}\end{array}\right.\)，

解得\(sin^2\alpha=\cfrac{1}{5}\)，\(cos^2\alpha=\cfrac{4}{5}\)，

代入得到\(sin^4\alpha-cos^4\alpha=-\cfrac{3}{5}\)；

【法2】：齐次式法，

\(sin^4\alpha-cos^4\alpha\)

\(=(sin^2\alpha-cos^2\alpha)(sin^2\alpha+cos^2\alpha)\)

\(=sin^2\alpha-cos^2\alpha\)

\(=-\cfrac{cos^2\alpha-sin^2\alpha}{sin^2\alpha+cos^2\alpha}\)

\(=\cfrac{1-tan^2\alpha}{1+tan^2\alpha}=-\cfrac{3}{5}\)；

【法3】：由\(\cfrac{sin\alpha}{cos\alpha}=\cfrac{1}{2}\)，引入比例因子，可设\(sin\alpha=k\)，\(cos\alpha=2k(k\neq 0)\)，

由\(k^2+(2k)^2=1\)，可得\(k^2=\cfrac{1}{5}\)，故\(k^4=\cfrac{1}{25}\)，

则\(sin^4\alpha-cos^4\alpha=k^4-(2k)^4=-15k^4=-\cfrac{3}{5}\)；

例02已知实数\(a、b\)满足条件\(\left\{\begin{array}{l}{a+b-2\ge 0}\\{b-a-1\leq 0}\\{a\leq 1}\end{array}\right.\)，求\(\cfrac{a+2b}{2a+b}\)的取值范围。

【法1】转化为斜率型，

思路如下：由于所求值函数为分式形式的关于\(a、b\)的二次齐次式，

故可以转化为\(\cfrac{a+2b}{2a+b}=\cfrac{1+2\cdot \cfrac{b}{a}}{2+\cfrac{b}{a}}\)，

\(=2-\cfrac{3}{2+k}=f(k)\)，其中\(k=\cfrac{b}{a}\)

这样先由可行域求得\(k=\cfrac{b}{a}\in [1，3]\)

函数\(f(k)\)在区间\([1，3]\)上单调递增，

然后用单调性，求得\(\cfrac{a+2b}{2a+b}\in [1，\cfrac{7}{5}]\)

【法2】换元法，令\(a+2b=n\)，\(2a+b=m\)，

联立解以\(a、b\)为元的方程组，得到

\(a=\cfrac{2m-n}{3}\)，\(b=\cfrac{2n-m}{3}\)，

代入原不等式组，可将原约束条件转化为关于\(m 、n\)的不等式组，

即已知\(m 、n\)满足条件\(\left\{\begin{array}{l}{m+n-6\ge 0}\\{n-m-1\leq 0}\\{2m-n-3\leq 0}\end{array}\right.\)，

求\(\cfrac{n}{m}\)的取值范围。

利用数形结合思想可得，\(\cfrac{a+2b}{2a+b}=\cfrac{n}{m}\in [1，\cfrac{7}{5}]\)。图像

1. 参见变量集中策略↩