提纲：
一直在想，我们该如何启发学生的思维，受一篇帖子¹的启发，偶发感想，对高中数学中暂时能想到的素材做以整理，以飨读者。

A、解方程中的由数到式，单项式到多项式

下面的表达式我们肯定经常见到，但是不大会引起我们的共鸣。
\[1^2-3\times1+2=0\] \[2^2-3\times2+2=0\]

那么你有没有想过，如果我们用一个未知数\(x\)同时替换上式中的\(1\)和\(2\)，
就得到了一个相同的式子，就是\(x^2-3x+2=0\)，这就是一元二次方程。

这样的一元二次方程一般都会求解，要么用公式法，要么分解为\((x-1)(x-2)=0\)，

利用实数的性质，得到\(x=1\)或\(x=2\)。

问题是你有没有思考过，这个替换过程中，已经体现了由数\(1(2)\)到未知数\(x\)的提升，思维已经完成了由算术到代数的质的飞跃，也就是说，已经开始用字母代替数字思维了。也许这是个了不起的变化。

为什么这么说呢？我们可以这样想，求解这个方程，\(x^4-3x^2+2=0\)，我们其实可以这样做，

令\(x^2=t\ge 0\)，则原方程就会转化为\(t^2-3t+2=0\)，可以先解出\(t=1\)或\(t=2\)，

然后再求解\(t=x^2=1\)或\(t=x^2=2\)，从而解得\(x=\pm 1\)或\(x=\pm 2\)。

其实，我们只是使用了代数变换，或者整体思想，就解决了我们看起来很困难的问题。这是一个了不起的变化。

一旦我们的思维被打通，那么我们能解决的问题，就绝不止这些了。

比如求解这样的方程\[(e^x)^2-3e^x+2=0\] \[(log_2x)^2-3log_2x+2=0\] \[(\sqrt[3]{x+1})^2-3\sqrt[3]{x+1}+2=0\] \[(sin\theta)^2-3sin\theta+2=0\] \[(cos\theta)^2-3cos\theta+2=0\]
只是分别做了这样的整体代换\(t=e^x\)，\(t=log_2x\)，\(t=e^x\)，\(t=\sqrt[3]{x+1}\)，\(t=sin\theta\)，\(t=cos\theta\)而已。

甚或我们还可以完成有单项式到多项式的替换，这样我们的思维层次就更高一些了，
比如求解\[(log_2x+1)^2-3(log_2x+1)+2=0\] \[(sin\theta-1)^2-3(sin\theta-1)+2=0\]
也无非就是让模型\(t^2-3t+2=0\)中的未知数变得更复杂，\(t=log_2x+1\)而已，

看到这里，你能仿照着编写一个求方程的题目吗？

这样我们不就有了些许的学习成就感了吗？

B、解不等式中的数到式，单项式到多项式

解这样的不等式\(x^2-3x+2<0\)，解集是\(\{x\mid 1<x<2\}\)，高三的学生基本是手到擒来，

但是你有没有想过，这样的\(x\)或许还可以是式子，比如\(|x|^2-3|x|+2<0\)，

那么比照上面的解法，只是用\(|x|\)替换了\(x\)，我们肯定能得到\(1<|x|<2\)，

然后问题转化为解绝对值不等式，\(1<|x|<2\)，得到解集为\(1<x<2\)或\(-2<x<-1\)；

由\(|x|<1\)得到\(-1<x<1\)，那么由\(|2|x|-1|<1\)，能得到什么？\(-1<2|x|-1<1\)，即\(0<2|x|<2\)，即\(0<|x|<1\)，解得\(-1<x<0\)或\(0<x<1\)；

那么下面的不等式你会解吗？

\(e^{2x}-3e^x+2<0\)； \(e^x\longrightarrow x\)

\(log_2^2x-3log_2x+2<0\)；\(log_2x\longrightarrow x\)

\((sinx+1)^2-3(sinx+1)+2<0\)；\(sinx+1\longrightarrow x\)

\(x^4-3x^2+2<0\)；\(x^2\longrightarrow x\)

再比如，当我们会解三角不等式 \(2sinx>1\)，解集为\(\{x\mid 2k\pi+\cfrac{\pi}{6}<x<2k\pi+\cfrac{5\pi}{6}\}\)

那么，\(2sin(3x+\cfrac{\pi}{4})>1\)，理解了上述的表达，

你就会写出此不等式的解集为\(\{3x+\cfrac{\pi}{4}\mid 2k\pi+\cfrac{\pi}{6}<3x+\cfrac{\pi}{4}<2k\pi+\cfrac{5\pi}{6}\}\)

再整理为\(\{x\mid \cfrac{2k\pi}{3}-\cfrac{\pi}{36}<x< \cfrac{2k\pi}{3}+\cfrac{7\pi}{36}\}\)；

C、算法中的思维训练

5、已知\(tan\alpha=\cfrac{1}{2}\)，求\(sin^4\alpha-cos^4\alpha\)的值。

【法1】：方程组法，由\(\left\{\begin{array}{l}{\cfrac{sin\alpha}{cos\alpha}=\cfrac{1}{2}}\\{sin^2\alpha+cos^2\alpha=1}\end{array}\right.\)，

解得\(sin^2\alpha=\cfrac{1}{5}\)，\(cos^2\alpha=\cfrac{4}{5}\)，

代入得到\(sin^4\alpha-cos^4\alpha=-\cfrac{3}{5}\)；

【法2】：齐次式法，\(sin^4\alpha-cos^4\alpha=(sin^2\alpha-cos^2\alpha)(sin^2\alpha+cos^2\alpha)=sin^2\alpha-cos^2\alpha\)

\(=-cos2\alpha=-\cfrac{cos^2\alpha-sin^2\alpha}{sin^2\alpha+cos^2\alpha}=\cfrac{1-tan^2\alpha}{1+tan^2\alpha}=-\cfrac{3}{5}\)；

【法3】：由\(\cfrac{sin\alpha}{cos\alpha}=\cfrac{1}{2}\)，引入比例因子，可设\(sin\alpha=k\)，\(cos\alpha=2k(k\neq 0)\)，

由\(k^2+(2k)^2=1\)，可得\(k^2=\cfrac{1}{5}\)，故\(k^4=\cfrac{1}{25}\)，

则\(sin^4\alpha-cos^4\alpha=k^4-(2k)^4=-15k^4=-\cfrac{3}{5}\)；

8、三角函数中的齐次式

比如：\(\cfrac{a\sin\theta+b\cos\theta}{c\sin\theta+d\cos\theta}\xlongequal[分子分母是sin\theta,cos\theta的一次齐次式]{分子分母同除以cos\theta}\cfrac{a\tan\theta+b}{c\tan\theta+d}\) (\(a,b,c,d\)为常数)；

小结：实现了二元\(sin\theta、cos\theta\)向一元\(tan\theta\)的转化；

比如：\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}=\cfrac{2sin\theta cos\theta-cos^2\theta}{2sin^2\theta+cos^2\theta}\xlongequal[分子分母是sin\theta,cos\theta的二次齐次式]{分子分母同除以cos^2\theta}\cfrac{2tan\theta-1}{2tan^2\theta+1}\)

小结：实现了二元\(sin\theta、cos\theta\)向一元\(tan\theta\)的转化；

再比如：\(a\sin2\theta+b\cos2\theta=\cfrac{a\sin2\theta+b\cos2\theta}{sin^2\theta+cos^2\theta}=\cfrac{a\tan\theta+b-b\tan^2\theta}{tan^2\theta+1}\)，

其余留作思考：\(\sin2\theta\)， \(\cos2\theta\)，\(1+\sin2\theta\)， \(2-\cos2\theta\)，\(3\sin2\theta-2\cos2\theta\) 等等

C、从算术到代数的演变

理解数学的本质提高学生数学素养

D、注意数学知识的给出方式，

例说学习方法的改造和提升

函数的单调性

E、用四则运算构造新函数

构造函数的角度

F、从简原则，变量集中

变量集中思想的应用

五、向量的使用，新工具的作用的体会

六、参数方程中的参数，参数的几何意义，变量集中，

七、线性规划的引申，由数到形，如求\(\cfrac{y+2}{x-1}\)的取值范围。

八、进退结合，

九、求解\(lnx=1-x\)的体会，数行不通，换形。代数方程到超越方程。

十、由\(a_{n+1}=pa_n+q\)构造到\(a_{n+1}=3a_n+8n+6\)的构造等等；

十一、用临界位置打通数形联系

如\(x^2+y^2=1\)，我们知道这是个圆，即圆上的所有点构成的点集；

那么\(y=\sqrt{1-x^2}\)，应该是\(x\)轴上方的单位圆；

那么碰到\(0\leq y\leq \sqrt{1-x^2}\)呢？

先用等号替换不等号得到\(y=0\)或者\(y=\sqrt{1-x^2}\)，

其分别刻画的是\(x\)轴和\(x\)轴上方的单位圆；

故\(0\leq y\leq \sqrt{1-x^2}\)刻画的应该是\(x\)轴上方的单位圆和单位圆的内部；

十二、归纳推理，类比推理

数列的前\(n\)项和\(S_n\)；数列的前\(n\)项积\(T_n\)；

1. 交给学生知识的本源↩