数学_余弦距离不满足三角不定式简单证明

欧式距离三角不定式 : ∣∣a→−b→∣∣<∣∣a→∣∣+∣∣b→∣∣||\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|| < ||\overrightarrow{a}|| + ||\overrightarrow{b}||∣∣a−b∣∣<∣∣a∣∣+∣∣b∣∣ (两边之和大于第三边)

余弦距离公式: 1−cos⁡x=1−a→b→∣∣a→∣∣∣∣b→∣∣1-\cos x = 1 - \frac{\overrightarrow{a} \overrightarrow{b}}{||\overrightarrow{a}|| ||\overrightarrow{b}||}1−cosx=1−∣∣a∣∣∣∣b∣∣ab

假设cos⁡A=Ac;cos⁡B=Bc;cos⁡(A+B)=Cc\cos A = A_c ; \cos B = B_c; \cos (A+B) = C_ccosA=Ac;cosB=Bc;cos(A+B)=Cc
计算三个向量的两两距离:
dist(OD→,OE→)=1−Acdist(\overrightarrow{OD}, \overrightarrow{OE}) = 1- A_cdist(OD,OE)=1−Ac
dist(OD→,OF→)=1−Ccdist(\overrightarrow{OD}, \overrightarrow{OF}) = 1- C_cdist(OD,OF)=1−Cc
dist(OE→,OF→)=1−Bcdist(\overrightarrow{OE}, \overrightarrow{OF}) = 1- B_cdist(OE,OF)=1−Bc

反证法：
假设满足三角不定式，则一定满足1−Cc<1−Ac+1−Bc1- C_c < 1- A_c + 1- B_c1−Cc<1−Ac+1−Bc
Cc>Ac−1+Bc=>Ac+Bc−Cc<1C_c > A_c - 1 + B_c => A_c + B_c - C_c < 1Cc>Ac−1+Bc=>Ac+Bc−Cc<1
当Ac=BcA_c = B_cAc=Bc :（二倍角公式）
Cc=2Ac2−1C_c = 2A_c^2 - 1Cc=2Ac2−1 推出
2Ac−2Ac2+1<1=>Ac−Ac2<02A_c - 2A_c^2 + 1 < 1 => A_c - A_c^2 < 02Ac−2Ac2+1<1=>Ac−Ac2<0
当Ac∈(0,1)A_c \in (0, 1)Ac∈(0,1)时:
Ac−Ac2>0A_c - A_c^2 > 0Ac−Ac2>0
该结论和假设违背，所以假设不成立，即余弦距离不满足三角不定式

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