LCA 最近公共祖先（倍增算法）

首先了解一下我们最近公共祖先
E和G的LCA为A
L和J的LCA为D
K和F的LCA为B
然后倍增用到了二进制和 dp 的思想
倍增就是 1 2 4 8 16 …任何一个数都是可以右这些数相加得到的。（了解一下二进制）
首先定义：

fa[ i ] [ j ] 为从 i 节点向上走 2 ^ j 个节点，
depth[ i ] 为节点 i 的深度。
举个例子 fa[ k ][ 1 ]=B , fa[ i ][ 0 ]=D ;
depth[ H ]=3,depth[ A ]=1;

定义完这个我们就可以通过一个 dfs 把每个节点的深度和每个节点向上走 1 步都求出来
代码

void dfs(int u,int pre,int d){     //u为子节点 pre为父节点fa[u][0]=pre;depth[u]=d;for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].next){int v=e[i].to;if(v==pre) continue;//dis[v]=dis[u]+e[i].w; 这里是求两节点之间距离的时候用的。（记录每一个节点 到根节点的距离）dfs(v,u,d+1);}
}

ps ：当时听学长讲的时候有点懵不是求公共祖先吗这个有什么用呢到后面发现挺神奇的

接下来我们就要想办法把每个节点向上走 n 步给表示出来

前面说过 1 2 4 8 16 … 这些二进制数是可以把所有的数都表示出来的所以我们只要把每一个节点向上走 2 ^ n 表示出来就可以把走任意步都表示出来了。
考虑一下我们可以发现
fa[ i ] [ j ]=fa[ fa[ i ] [ j-1 ] ][ j-1 ] 。
就是说如果我们要求 i 向上走 8 不步可以由 i 先走 4 步再走 4 步得到。我们可以用 dp 实现这个步骤
代码

void init(int root){dfs(root, -1,1);for(int j=1;(1 << j )<n;j++){              for(int i=1;i<=n;i++){if(fa[i][j-1]<0) fa[i][j]=-1; //如果超过了根节点 让它等于 -1；else fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1];}}
}

做完这些预处理接下来就是找最近公共祖先的步骤了

ps 四处盗图哈哈

首先我们让所求的两个节点处于同一深度然后一起向上跳就行了

至于怎么跳就比较关键了
最简单的方法就是一个点一个点的跳直到到达相同的节点（这样肯定会超时的。。。。。。。）

所以换一种思路就是这种方法的核心了

像上图的 15 16 这两个节点处于同一深度
我们要想办法让他们跳到最近公共祖先的下面一个节点

采取这样的策略从 2 ^ k到 2^0 步进行枚举

如果他们跳了 2^k 步之后到达了同一个节点说明我们到达了最近公共祖先或者以上的节点不符合我们的要求 (不跳)。
过程中如果碰到跳完后到达了不同的节点例如 2^0 我们就让他跳（可以去找个大一点的树模拟一下）
最后我们会神奇的发现他们来到了 6 和 10 这两个节点
所以最近公共祖先就为 fa[ 6 ][0 ];

是不是很神奇（我学的时候感觉挺神奇的）

代码：

int lca(int u,int v){if(depth[u]<depth[v]) swap(u,v);int k=depth[u]-depth[v];for(int i=0;(1<<i)<=k;i++){if((k>>i)&1) u=fa[u][i];  //这里是 判断K的 第i 个二进制位是否为 1 是的话 就跳}if(u==v) return u;for(int i=log(n*1.0)/log(2.0);i>=0;i--){if(fa[u][i]!=fa[v][i]){u=fa[u][i];v=fa[v][i];}}return fa[u][0];
}

来个题目
凛冬将至（CSUST 2019年集训队选拔赛）
Description

维斯特洛大陆的原住民是森林之子，他们长得如孩童一般，善于使用石器，威力值35，用树叶树枝作为衣物，在森林里繁衍生息，与万物和平相处。他们会使用古老的魔法（比如绿之视野），威力值55。后来先民从维斯特洛大陆架登陆，凭借手中的青铜兵器和战马大举入侵，威力值分别是35和55。森林之子凭借魔法顽强抵抗，并冒险利用龙晶制造出了一个神奇的强悍的物种——异鬼，威力值60。双方持久不下之时签订了和平协议，先民占据了维斯特洛大陆，森林之子只保有森林。

。。。

七大王国如火如荼兴起之时，在遥远海洋的另一端，一个神秘的家族悄然兴起——坦格利安家族。此家族拥有三条巨龙，威力值90+，经过一个世纪的备战，在领导者伊耿一世的带领下乘龙入侵维斯特洛大陆。

借助龙的力量，伊耿一世很快统一了维斯特洛的七大王国，建立了空前强大的坦格利安王朝，像所有外来入侵者一样，坦格利安家族摒弃了龙的信仰开始信仰七神，并且将龙由放养改为圈养，再加上坦格利安家族为了保持血统纯正，实行近亲婚姻，生出来的继承者精神病人越来越多，这导让坦格利安王朝开始了眼花缭乱的花样作死之旅。

。。。

众(wo)所(xia)周(che)知(de)，当凯特琳·徒利得知自己女儿艾莉亚逃到赫伦堡后，非常担心女儿的安全。假设维斯特洛大陆共有nn个城市，共有n-1n−1条双向道路把这nn个城市连接起来。也就是说这是一棵树。凯特琳想尽快临冬城赶到赫伦堡。除了已知的n-1n−1条边外，凯特琳还知道一条额外的秘密路径(也是双向的)：端点是是城市xx和城市yy，路径长度是zz。现在想考考寒假过后的你有没有刷过题，问你QQ个问题，每个问题给出临冬城(凯特琳所在城市)和赫伦堡(艾莉亚所在城市)的坐标，请你告诉凯特琳从临冬城到赫伦堡的最短路径长度是多少？

Input
第一行一个整数n(1<=n<=100000)

以下n-1行描述一颗树，每行u,v,w表示一条从u到v长为w的路径，u!=v。

下一行三个整数x,y,z 意义如题（1<= x,y<=n, x!=y）。

下一行一个整数Q(100000)

以下Q行两个数字U,V代表临冬城和赫伦堡的坐标。

1≤w,z≤1000

Output
对每次询问输出从临冬城到赫伦堡的最短路径长度。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<map>
#include<math.h>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e6;
const int mod=1e9+7;
int head[maxn],num=0,depth[maxn],fa[maxn][32],n,vis[maxn],dis[maxn];
struct node{int to,next,w;
}e[maxn];
void add(int u,int v,int w){e[num].next=head[u];e[num].to=v;e[num].w=w;head[u]=num++;
}
void dfs(int u,int pre,int d){fa[u][0]=pre;depth[u]=d;for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].next){int v=e[i].to;if(v==pre) continue;dis[v]=dis[u]+e[i].w;dfs(v,u,d+1);}
}
void init(int root){dfs(root, -1,1);for(int j=1;(1 << j )<n;j++){              //这两个循环  重要for(int i=1;i<=n;i++){if(fa[i][j-1]<0) fa[i][j]=-1;else fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1];}}
}
int lca(int u,int v){if(depth[u]<depth[v]) swap(u,v);int k=depth[u]-depth[v];for(int i=0;(1<<i)<=k;i++){if((k>>i)&1) u=fa[u][i];}if(u==v) return u;for(int i=log(n*1.0)/log(2.0);i>=0;i--){if(fa[u][i]!=fa[v][i]){u=fa[u][i];v=fa[v][i];}}return fa[u][0];
}
int d(int u,int v){return dis[u]+dis[v]-2*dis[lca(u,v)];
}
int main (){int u,v,w,root,x,y,z;cin>>n;memset(head,-1,sizeof(head));for(int i=0;i<n-1;i++){scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);add(u,v,w);add(v,u,w);vis[v]++;}scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);for(int i=1;i<=n;i++){if(vis[i]==0){root=i;break;}}init(root);int k;cin>>k;while(k--){int ans=1000000000;scanf("%d%d",&u,&v);ans=min(ans,d(u,v));ans=min(ans,d(u,x)+z+d(y,v));ans=min(ans,d(u,y)+z+d(x,v));printf ("%d\n",ans);}
}

u 到 v 的距离为 dis[u]+dis[v]-2*dis[lca(u,v)];
dis[]为到根节点的距离.
ps：纯萌新写的笔记写得比较烂欢迎指出错误