tarjan算法_【朝夕的ACM笔记】树上问题-最近公共祖先-倍增算法

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最近公共祖先-倍增算法

一、基本概念

最近公共祖先问题：对于给定的一颗有根树，求其两个节点的最近公共祖先。

祖先：节点本身、节点的父亲、节点父亲的父亲……都是该节点的祖先。

公共祖先：两个节点共同的祖先。

最近公共祖先(Lowest Common Ancestor)即LCA：距离根最远的公共祖先（也是深度最大的公共祖先）。

*LCA的重要性质：

①若

是

的祖先，则

。

②若

不互为祖先，则

分别在

两棵不同的子树上。

③两点的LCA必然在两点间的最短路上，事实上两点间的最短路就是从其中一点到LCA再到另一点。故

。

LCA的常见求法有：倍增算法、Tarjan算法、ST表算法、树链剖分四种。

本篇介绍第一种：倍增算法。

二、算法思想

2.1 朴素算法

在讲倍增算法前，我们先考虑一下暴力的朴素算法。

首先我们知道

。

所以我们可以先找到深度比较大的那个点，让它先往上跳，直到两点深度相同。

接着两点一起往上跳，什么时候汇聚在一点，那点就是最近公共祖先。

但是朴素算法的时间复杂度是比较大的，最坏情况下相当于

。即每次询问都要遍历整棵树。

2.2 倍增算法

倍增算法是朴素算法的改进算法。对于每个点，我们先求出它向上的第

个祖先。这样再按照朴素算法向上跳时，跳跃的次数会减少很多。

需要注意的是，向上跳跃时，我们应当先考虑跳大的步子。

什么意思呢？

比如说我们要求一个节点向上的第13个祖先。

那我们应该先跳8步，再跳4步，再跳1步。

对于预处理：

我们设

为点

的第

个祖先。

则显然

。

接下来从根节点向下DFS，每跑到一个点，都可以求出这个点的前

个祖先。

倍增的转移方程为

。

由于

有可能非整数，不好处理，所以可以统一求

。

对于求解LCA：

第一步先统一深度：

假设

，则

。

直接向下取整就好了，最多多跳一步。

然后一起向上跳，从大的步子开始，直到汇聚在同一点。

时间复杂度：

倍增算法预处理的时间复杂度是

，包含询问内的最差复杂度为

。

三、参考代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
vector<int>e[500005];
int dep[500005];
int fa[500005][25];
int lg[500005];
void dfs(int s,int fn)//s表示当前点，fn是当前点的父亲节点
{fa[s][0]=fn;//第一个祖先就是本身dep[s]=dep[fn]+1;//记录点的深度for(int i=1;i<=lg[dep[s]]+1;i++)fa[s][i]=fa[fa[s][i-1]][i-1];//倍增转移for(int i=0;i<e[s].size();i++)if(e[s][i]!=fn) dfs(e[s][i],s);//向下遍历
}
void pre(int n)//快速预处理log2
{lg[1]=0,lg[2]=1;for(int i=3;i<=n;i++) lg[i]=lg[i/2]+1;
}
int lca(int x,int y)
{if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);//先保证x的深度大于等于ywhile(dep[x]>dep[y]) x=fa[x][lg[dep[x]-dep[y]]];//统一深度if(x==y) return x;//特判for(int i=lg[dep[x]];i>=0;i--)//从大步开始走if(fa[x][i]!=fa[y][i]) x=fa[x][i],y=fa[y][i];//一起往上跳return fa[x][0];
}
int read()//快读，增快读入速度
{int re=0;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9')ch=getchar();while(ch>='0' && ch<='9'){re=re*10+ch-'0';ch=getchar();}return re;
}
int main()
{int n,m,s;//树的点数、询问次数、根节点n=read();m=read();s=read();for(int i=1;i<=n-1;i++){int x,y;x=read(),y=read();e[x].push_back(y);e[y].push_back(x);//树是无向图}pre(n);//预处理log2dfs(s,0);//dfs预处理fa数组for(int i=1;i<=m;i++){int a,b;a=read(),b=read();printf("%dn",lca(a,b));}return 0;
}