摆线定义

摆线，又称旋轮线、圆滚线，在数学中，摆线（Cycloid）被定义为，一个圆沿一条直线运动时
圆边界上一定点所形成的轨迹。它是一般旋轮线的一种。
方程式为：
{x=r∗(t−sint)y=r∗(1−cost)\begin{cases} x=r*(t-sint) \\ y=r*(1-cost) \end{cases} {x=r∗(t−sint)y=r∗(1−cost)
r为圆半径，t为圆的半径所经过的弧度（滚动角），当t从0变为2π时，动点就画出了摆线的一支，称为一拱。

模型表示

足端点摆线方程可表示为：
{xt=(xf−xs)θ−sinθ2π+xszt=h1−cosθ2+zsθ=2πtλTs,0<t<λTs\begin{cases} x_t=(x_f-x_s) \frac{\theta-sin\theta}{2\pi}+x_s\\ z_t=h\frac{1-cos\theta}{2}+z_s \\ \theta = \frac{2\pi t}{\lambda T_s},\ \ 0<t<\lambda T_s \end{cases} ⎩⎨⎧xt=(xf−xs)2πθ−sinθ+xszt=h21−cosθ+zsθ=λTs2πt, 0<t<λTs
其中xsx_sxs与xfx_fxf分别为摆线起始点和终止点的x坐标，zsz_szs为起点的z坐标。

matlab程序

输入为机器狗期望的位置和姿态，输出为四个脚的位置坐标。

function [x,z] = Cycloid(t,T)
Ts=T/2;  %周期为0.2s
xs=-0.1; %起点x位置
xf=0.1;  %终点x位置
zs=-0.482; %z起点位置
h=0.1;   %抬腿高度sigma=2*pi*t/Ts;
x=(xf-xs)*((sigma-sin(sigma))/(2*pi))+xs;
z=h*(1-cos(sigma))/2+zs;
end

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