分段点处导数怎么求，导数和导函数的极限有关系吗？

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分段点处导数怎么求
导数和导函数的极限有关系吗？
导数和导函数极限的关系有什么推论

给出分段函数的普通定义：

y={f(x)if x<abif x=ag(x)if x>ay=\begin{aligned} \begin{cases} f(x) & \text{ if } x<a \\ b & \text{ if } x=a \\ g(x) & \text{ if } x>a \end{cases} \end{aligned} y=⎩⎪⎨⎪⎧f(x)bg(x) if x<a if x=a if x>a

直接给出结论，回答标题的两个问题：

分段点处导数怎么求

1.用定义
2.如果导函数的左极限存在，那么在这个点的左导数等于导函数的左极限。
证明：根据洛必达法则：
lim⁡x→af(x)−f(a)x−a=lim⁡x→af′(x)=A\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{x\to a}f'(x)=Ax→alimx−af(x)−f(a)=x→alimf′(x)=A
右极限同理。

导数和导函数的极限有关系吗？

有。导数存在是导函数极限存在的必要条件。也就是说，反之，导数存在推不出导函数极限存在。也就是我们常说的，导函数存在推不出导函数连续。

导数和导函数极限的关系有什么推论

一个可导的函数的导函数虽然不一定连续，但是一定只可能有震荡间断点。
证明：
在某个可导的点：
如果导函数有第一类间断点或者无穷间断点。则根据上面的导数和导函数极限的关系，可以得出在这个点原函数是不可导的，与这个函数在这个点可导矛盾。

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