牛客小白月赛1 I.あなたの蛙が帰っています

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题目描述

あなたの蛙が帰っています！

蛙蛙完成了一趟旅行，回家啦！但它还是没有去它心中非常想去的几个地方。总共有 N 个它想去的目的地。蛙蛙下定了决心，它要做一个愿望清单，一定要让自己去那些想去的地方。蛙蛙是这样做的：它会不定时地想起一个或多个目的地，然后按顺序写在愿望清单上。但是每次蛙蛙出去旅行时，都会先去最近写在愿望清单上的地方，并且蛙蛙不会重复去一个目的地，但它会去访问所有的目的地。蛙蛙有个最想去的地方，这个地方是它第一个想到的，但由于种种原因，这个地方不能是第一个被蛙蛙访问的。蛙蛙脑中回想目的地的顺序是固定的，所以它想请问你，它最终访问这些目的地的顺序有多少种？
对于两种访问序列 A 和 B ，它们是不同的当且仅当存在至少一个 i ，使得 A i ≠ B i A_i \not= B_i Ai=Bi。
为了让大家不被卡题意，这里给出一句话题意：
已知一个没有深度限制的栈的入栈序列为 A 1 , A 2 , A 3 , ⋯ , A N A_1, A_2, A_3, \cdots, A_N A1,A2,A3,⋯,AN ，且 A 1 A_1 A1 不能第一个出栈。求合法的出栈序列个数。答案对 998244353 取模。

输入描述:

第一行一个数 T ，表示蛙蛙有 T 组询问。
接下去 TT 行，每行一个正整数 N，表示目的地的个数（入栈元素个数）。

输出描述:

输出共 T 行，每行一个答案，格式形如，具体可见样例。
答案可能较大，请对 998244353 取模后输出。

示例1

输入

输出

Case #1: 3
Case #2: 3432
Case #3: 508887030

对长为 n n n 的合法出栈序列数称为卡特兰数，有一个经典的公式：
a n s [ n ] = 1 n + 1 C 2 n n ans[n]=\frac{1}{n+1}C_{2n}^n ans[n]=n+11C2nn
题目限定第一个元素不能第一个出栈，我们换种思路，如果第一个元素第一个出栈，就是求剩下 n − 1 n-1 n−1 个元素的合法出栈序列数，即答案为：
a n s [ n ] − a n s [ n − 1 ] ans[n]-ans[n-1] ans[n]−ans[n−1]
因为 n n n 不大，可以直接预处理出 2 e 5 2e5 2e5 内的组合数，也可以直接套卢卡斯定理的模板，我用的前者，AC代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=998244353;
const int N=2e5+5;
ll F[N+1],I[N+1],n;
ll power(ll a,ll b){return b?power(a*a%mod,b/2)*(b%2?a:1)%mod:1;}
void init(){F[0]=1;for(ll i=1;i<=N;i++) F[i]=F[i-1]*i%mod;I[N]=power(F[N],mod-2);for(ll i=N;i--;){I[i]=I[i+1]*(i+1)%mod;}
}ll C(ll n,ll k){return F[n]*I[n-k]%mod*I[k]%mod;
}int main()
{init();int t;scanf("%d",&t);for(int i=1;i<=t;i++){scanf("%lld",&n);printf("Case #%d: %lld\n",i,(C(2*n,n)*power(n+1,mod-2)%mod-C(2*(n-1),n-1)*power(n,mod-2)%mod+mod)%mod);}return 0;
}