python机器学习库sklearn——Lasso回归（L1正则化）

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全栈工程师开发手册（作者：栾鹏）
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Lasso

The Lasso 是估计稀疏系数的线性模型。它在一些情况下是有用的，因为它倾向于使用具有较少参数值的情况，有效地减少给定解决方案所依赖变量的数量。因此，Lasso 及其变体是压缩感知领域的基础。在一定条件下，它可以恢复一组非零权重的精确集。

在数学公式表达上，它由一个带有$ \ell_1 $先验的正则项的线性模型组成。其最小化的目标函数是:

minw12nsamples∣∣Xw−y∣∣22+α∣∣w∣∣1\underset{w}{min\,} { \frac{1}{2n_{samples}} ||X w - y||_2 ^ 2 + \alpha ||w||_1}wmin2nsamples1∣∣Xw−y∣∣22+α∣∣w∣∣1

lasso 估计解决了加上罚项$ \alpha ||w||_1 的最小二乘法的最小化，其中，的最小二乘法的最小化，其中，的最小二乘法的最小化，其中， \alpha$ 是一个常数，$ ||w||_1 $是参数向量的 ℓ1−norm\ell_1-normℓ1−norm 范数。

Lasso 类的实现使用了 coordinate descent （坐标下降算法）来拟合系数。

设置正则化参数

scikit-learn 通过交叉验证来公开设置 Lasso中α\alphaα 参数的对象: LassoCV 和 LassoLarsCV。 LassoLarsCV 是基于下面解释的 最小角回归 算法。

对于具有许多线性回归的高维数据集， LassoCV 最常见。然而，LassoLarsCV 在寻找 α\alphaα 参数值上更具有优势，而且如果样本数量与特征数量相比非常小时，通常 LassoLarsCV 比 LassoCV 要快。

与 SVM 的正则化参数的比较

α\alphaα 和 SVM 的正则化参数CCC之间的等式关系是 α=1/C\alpha = 1 / Cα=1/C 或者 $\alpha = 1 / (n_{samples} * C) $，并依赖于估计器和模型优化的确切的目标函数。

主参数设置

alpha : float, 可选，默认 1.0。当 alpha 为 0 时算法等同于普通最小二乘法，可通过 Linear Regression 实现，因此不建议将 alpha 设为 0.

fit_intercept : boolean
是否进行拦截计算（intercept）。若 false，则不计算（比如数据已经经过集中了）。此处不太明白，仿佛与偏度有关。

normalize : boolean, 可选, 默认 False
若 True，则先 normalize 再 regression。若 fit_intercept 为 false 则忽略此参数。当 regressors 被 normalize 的时候，需要注意超参（hyperparameters）的学习会更稳定，几乎独立于 sample。对于标准化的数据，就不会有此种情况。如果需要标准化数据，请对数据预处理。然后在学习时设置 normalize=False。

copy_X : boolean, 可选, 默认 True
若 True，则会复制 X；否则可能会被覆盖。

precompute : True | False | array-like, 默认=False
是否使用预计算的 Gram 矩阵来加速计算。如果设置为 ‘auto’ 则机器决定。Gram 矩阵也可以 pass。对于 sparse input 这个选项永远为 True。

max_iter : int, 可选
最大循环次数。

tol : float, 可选
优化容忍度 The tolerance for the optimization: 若更新后小于 tol，优化代码检查优化的 dual gap 并继续直到小于 tol 为止。

warm_start : bool, 可选
为 True 时, 重复使用上一次学习作为初始化，否则直接清除上次方案。

positive : bool, 可选
设为 True 时，强制使系数为正。

selection : str, 默认 ‘cyclic’
若设为 ‘random’, 每次循环会随机更新参数，而按照默认设置则会依次更新。设为随机通常会极大地加速交点（convergence）的产生，尤其是 tol 比 1e-4 大的情况下。

random_state : int, RandomState instance, 或者 None (默认值)
pseudo random number generator 用来产生随机 feature 进行更新时需要用的

seed。仅当 selection 为 random 时才可用。

代码实现

import numpy as np # 快速操作结构数组的工具
import matplotlib.pyplot as plt  # 可视化绘制
from sklearn.linear_model import Lasso,LassoCV,LassoLarsCV   # Lasso回归,LassoCV交叉验证实现alpha的选取，LassoLarsCV基于最小角回归交叉验证实现alpha的选取# 样本数据集，第一列为x，第二列为y，在x和y之间建立回归模型
data=[[0.067732,3.176513],[0.427810,3.816464],[0.995731,4.550095],[0.738336,4.256571],[0.981083,4.560815],[0.526171,3.929515],[0.378887,3.526170],[0.033859,3.156393],[0.132791,3.110301],[0.138306,3.149813],[0.247809,3.476346],[0.648270,4.119688],[0.731209,4.282233],[0.236833,3.486582],[0.969788,4.655492],[0.607492,3.965162],[0.358622,3.514900],[0.147846,3.125947],[0.637820,4.094115],[0.230372,3.476039],[0.070237,3.210610],[0.067154,3.190612],[0.925577,4.631504],[0.717733,4.295890],[0.015371,3.085028],[0.335070,3.448080],[0.040486,3.167440],[0.212575,3.364266],[0.617218,3.993482],[0.541196,3.891471]
]#生成X和y矩阵
dataMat = np.array(data)
X = dataMat[:,0:1]   # 变量x
y = dataMat[:,1]   #变量y# ========Lasso回归========
model = Lasso(alpha=0.01)  # 调节alpha可以实现对拟合的程度
# model = LassoCV()  # LassoCV自动调节alpha可以实现选择最佳的alpha。
# model = LassoLarsCV()  # LassoLarsCV自动调节alpha可以实现选择最佳的alpha
model.fit(X, y)   # 线性回归建模
print('系数矩阵:\n',model.coef_)
print('线性回归模型:\n',model)
# print('最佳的alpha：',model.alpha_)  # 只有在使用LassoCV、LassoLarsCV时才有效
# 使用模型预测
predicted = model.predict(X)# 绘制散点图 参数：x横轴 y纵轴
plt.scatter(X, y, marker='x')
plt.plot(X, predicted,c='r')# 绘制x轴和y轴坐标
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")# 显示图形
plt.show()

多任务回归

MultiTaskLasso 是一个估计多元回归稀疏系数的线性模型： $y $是一个 (nsamples,ntasks)(n_{samples}, n_{tasks})(nsamples,ntasks) 的二维数组，其约束条件和其他回归问题（也称为任务）是一样的，都是所选的特征值。
下图比较了通过使用简单的 Lasso 或 MultiTaskLasso 得到的 W 中非零的位置。 Lasso 估计产生分散的非零值，而 MultiTaskLasso 的一整列都是非零的。

在数学上，它由一个线性模型组成，以混合的 $\ell_1 \ell_2 $作为正则化器进行训练。目标函数最小化是：

minw12nsamples∣∣XW−Y∣∣Fro2+α∣∣W∣∣21\underset{w}{min\,} { \frac{1}{2n_{samples}} ||X W - Y||_{Fro} ^ 2 + \alpha ||W||_{21}}wmin2nsamples1∣∣XW−Y∣∣Fro2+α∣∣W∣∣21

其中 Fro 表示 Frobenius 标准：

∣∣A∣∣Fro=∑ijaij2||A||_{Fro} = \sqrt{\sum_{ij} a_{ij}^2}∣∣A∣∣Fro=ij∑aij2

并且 ℓ1ℓ2\ell_1 \ell_2ℓ1ℓ2 读取为:

∣∣A∣∣21=∑i∑jaij2||A||_{2 1} = \sum_i \sqrt{\sum_j a_{ij}^2}∣∣A∣∣21=i∑j∑aij2

MultiTaskLasso 类的实现使用了坐标下降作为拟合系数的算法。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from sklearn.linear_model import MultiTaskLasso, Lassorng = np.random.RandomState(42)
# ===========================产生模拟样本数据=========================
# 用随机的频率、相位产生正弦波的二维系数
n_samples, n_features, n_tasks = 100, 30, 40  # n_samples样本个数，n_features特征个数，n_tasks估计值的个数
n_relevant_features = 5 # 自定义实际有用特征的个数
coef = np.zeros((n_tasks, n_features)) # 系数矩阵的维度times = np.linspace(0, 2 * np.pi, n_tasks)
for k in range(n_relevant_features):coef[:, k] = np.sin((1. + rng.randn(1)) * times + 3 * rng.randn(1)) # 自定义数据矩阵，用来生成模拟输出值X = rng.randn(n_samples, n_features)  # 产生随机输入矩阵
Y = np.dot(X, coef.T) + rng.randn(n_samples, n_tasks) # 输入*系数+噪声=模拟输出
# ==============================使用样本数据训练系数矩阵============================
coef_lasso_ = np.array([Lasso(alpha=0.5).fit(X, y).coef_ for y in Y.T])
coef_multi_task_lasso_ = MultiTaskLasso(alpha=1.).fit(X, Y).coef_  # 多任务训练# #############################################################################
# Plot support and time series
fig = plt.figure(figsize=(8, 5))
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.spy(coef_lasso_)
plt.xlabel('Feature')
plt.ylabel('Time (or Task)')
plt.text(10, 5, 'Lasso')
plt.subplot(1, 2, 2)
plt.spy(coef_multi_task_lasso_)
plt.xlabel('Feature')
plt.ylabel('Time (or Task)')
plt.text(10, 5, 'MultiTaskLasso')
fig.suptitle('Coefficient non-zero location')feature_to_plot = 0
plt.figure()
lw = 2
plt.plot(coef[:, feature_to_plot], color='seagreen', linewidth=lw,label='Ground truth')
plt.plot(coef_lasso_[:, feature_to_plot], color='cornflowerblue', linewidth=lw,label='Lasso')
plt.plot(coef_multi_task_lasso_[:, feature_to_plot], color='gold', linewidth=lw,label='MultiTaskLasso')
plt.legend(loc='upper center')
plt.axis('tight')
plt.ylim([-1.1, 1.1])
plt.show()