我们这里所说的MCTS(蒙特卡洛树搜索)，是指通过蒙特卡洛评估和树搜索，对强化学习环境π(•|s)建模的方法。

何为蒙特卡洛？

Monte Carlo method，也就是先从某个分布采样，再基于采样的结果近似分布统计量。
直觉就是，当采样足够多的时候，采样数据集就能代表真实分布。

为什么要基于采样数据呢？
采样数据是有限的，使计算变得可行，也使梯度学习策略SGD变得可行。

百度百科

何为蒙特卡洛评估？

Monte Carlo estimation，一种求解强化学习的方法。

1. 蒙特卡洛方法，Q(s, a)取均值；
2. 贪心策略，π(s)取最大。

Sutton RL an introduction

Mode-based vs Model-Free

由于MCTS一般应用于Model-based，有必要先了解下Model-based和Model-free。

如果把整个强化学习任务看作一个整体的话，不管采用什么算法架构，人类开发(环境建模、Agent设计)和机器学习的总工作量是不变的，最终都是完成决策这个任务。
不同的架构，就是这三方面分配的任务不同。

所谓的Model-based，就是Agent事先能看到环境本身的模型即MDP相关的分布：状态转移概率P(s'|s,a)和奖赏函数R(r|s, a)，或环境直接给出，或通过统计学习得到。
当环境有很明确的先验知识时，可以以环境Model的形式输入，减少机器学习的工作量，提高整体效率。

而在Model-free场景下，Agent执行某个Action后只能得到环境的即时反馈(s_new，reward)，看不到环境的分布。

一个Model-based环境，如果通过再加一个采样器，对于Agent来说只能看到即时采样结果，其实已经变成了Model-free的形式，就可以采用Model-free相关的算法。

个人理解，通常所说的Model-free，其实P(s'|s,a)、R(r|s, a)是确定的，这种情况下的好处是设计环境很方便，只需要实现Action之后的场景状态更新即可。
而基于外加采样器的Model-free场景，环境本身还是需要设计或学习得到的，这个也正是人类专家知识输入的方式。
当然P(s'|s,a)、R(r|s, a)是确定的，也可以看作采样的一种。

所以可以从另一个角度再区分一下Mode-base和Model-free，如果学习是直接基于采样样本的，是Model-free；如果学习是基于环境相关概率分布的，是Model-based。
需要注意，基于采样和基于分布，其实并没有本质区别，类比于点估计和分布估计，二者都有可能找到最优解。
但基于采样样本的，通过Batch Learning，更适合梯度SGD学习。
如果P(s'|s,a)、R(r|s, a)是确定的，对Batch Size并没有要求，一条也能学习，因为一条数据已经代表了分布；而如果P(s'|s,a)、R(r|s, a)是不确定的，理论上Batch Data尽量能反映分布较好。

MCTS过程

MCTS对环境的要求是能够采样即可，采样基于Simulator的场景较多。
MCTS建立一棵树的目的，就是确定根节点root的State对应的最优的Action。
主要还是用于生成分布π(a|s)，供于采样，为环境建模。
如果用树本身求解Q*(s, a), 需要接受Q(s, a)是随机版的原始累计折扣奖赏。

给定一个根节点s0，建立一棵树的过程如下：

1. 确定路径(Episode)的总数E、确定树的最大深度D。一个Episode表示一条路径。
2. 初始化根节点root；
   每个节点应该包含经过该节点的总Episode数 N(v)及该节点的累计reward Q(v)，初始化为0。

int8.io

1. 选择
   给定一个状态S，如果其对应的所有Action都已经存在与树中，则采用UCT policy优先选择UCT较大子节点，直至找到还有没有访问的子节点的节点。UCT：Upper Confidence Bound 计算：

int8.io

1. 拓展
   从还没有访问的子节点中随机选择一个，追加到树中。
2. 模拟
   剩下的节点随机选择Action，直至达到最大深度D或到达终止状态的叶子节点。
3. 回溯
   从叶子节点开始，通过折扣因子奖赏回溯Episode，更新每个节点的计数及奖赏信息。
4. 重复3~6，直至达到Episode总数E上限。

最终当整棵树建好后，采用蒙特卡洛评估即通过均值Q(v)/N(v)的估计Q(v)，通过最大化Q(s,a)选取a；也可以通过访问次数来近似π(•|s)分布。

MCTS与Model-free算法结合

当π(a|s)模拟好之后，一个Model-based环境就可以生成采样数据(s, a, r, s')，基于这些采样数据，就可以采用常见的Model-free方法，来优化MCTS里面的Q(s, a)近似。

以AlphaZero为例，神经网络近似策略policy π(.|s)及state-value V(s)，UCT更新函数优化如下：

acme paper

损失函数包含π(•|s)与π_mcts(•|s)两个分布的距离及V(s)的均方误差。