高数第七版_习题解答_极限练习解答(第二类重要极限的多元形式)

练习1: 求极限
lim⁡x→0(a1x+a2x+⋯+anxn)1x\lim_{x \rightarrow 0} \left(\frac{a_1^{x}+a_2^{x}+\dots+a_n^{x}}{n}\right)^\frac{1}{x} x→0lim(na1x+a2x+⋯+anx)x1
分析：

(1) 利用公式
lim⁡(1+u)v=elim⁡v⋅(1+u)=elim⁡u⋅v,(u→0,v→+∞)(1)\lim(1+u)^v = e^{\lim v \cdot(1+u)}= e^{\lim u\cdot v},(u\rightarrow 0,v\rightarrow +\infty) { \color{red}\tag{1}} lim(1+u)v=elimv⋅(1+u)=elimu⋅v,(u→0,v→+∞)(1)
(2) 与习题1-10,9-（5）类似，构造函数 uuu，此时注意到

(a1x+a2x+⋯+anxn)=(1+a1x+a2x+⋯+anx−nn)=(1+(a1x−1)+(a2x−1)+⋯+(anx−1)n)\left(\frac{a_1^{x}+a_2^{x}+\dots+a_n^{x}}{n}\right)=\left(1+\frac{a_1^{x}+a_2^{x}+\dots+a_n^{x}-n}{n}\right) = \left(1+\frac{(a_1^{x}-1)+(a_2^{x}-1)+\dots+(a_n^{x}-1)}{n}\right)(na1x+a2x+⋯+anx)=(1+na1x+a2x+⋯+anx−n)=(1+n(a1x−1)+(a2x−1)+⋯+(anx−1))

此时，u=(a1x−1)+(a2x−1)+⋯+(anx−1)nu=\frac{(a_1^{x}-1)+(a_2^{x}-1)+\dots+(a_n^{x}-1)}{n}u=n(a1x−1)+(a2x−1)+⋯+(anx−1)即是需要构造出的函数

再利用等价无穷小的结论ax−1∼xln⁡aa^x-1 \sim x\ln aax−1∼xlna即可求解。

练习2： 求极限lim⁡x→π2(sin⁡x)tan⁡x\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} (\sin x)^{\tan x}limx→2π(sinx)tanx

分析：

（1）一般习惯考虑x→0x \rightarrow 0x→0的情形，于是记 y=x−π2y = x-\frac{\pi}{2}y=x−2π, x=y+π2x = y+ \frac{\pi}{2}x=y+2π

此时：sin⁡x=sin⁡(y+π2)=−cos⁡y\sin x = \sin (y+\frac{\pi}{2}) = -\cos ysinx=sin(y+2π)=−cosy, tan⁡x=tan⁡(y+π2)=−cot⁡y\tan x = \tan(y+\frac{\pi}{2}) = -\cot ytanx=tan(y+2π)=−coty

注意到: x→π2x \rightarrow \frac{\pi}{2}x→2π 时 y→0y \rightarrow 0y→0

（2）类似练习1，同样构造出公式中的u，类似可得出答案。

解：

lim⁡x→π2(sin⁡x)tan⁡x=lim⁡y→0(−cos⁡y)−cot⁡y=lim⁡y→0[1−(cos⁡y−1)]−cot⁡y\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} (\sin x)^{\tan x}=\lim_{y \rightarrow0} (-\cos y)^{-\cot y} = {\color{red} \lim_{y \rightarrow0} [1-(\cos y-1)]^{-\cot y}} x→2πlim(sinx)tanx=y→0lim(−cosy)−coty=y→0lim[1−(cosy−1)]−coty
令 u=−(cos⁡y−1)=1−cos⁡yu = {\color{red}-(\cos y - 1)} = 1 - \cos yu=−(cosy−1)=1−cosy , v=−cot⁡yv = -\cot yv=−coty , 再利用公式 (1)
lim⁡y→0[1−(cos⁡y−1)]−cot⁡y=lim⁡y→0e(cos⁡y−1)∗(−cot⁡y)=lim⁡y→0e(1−cos⁡y)cot⁡y=lim⁡y→0e(1−cos⁡y)cos⁡ytan⁡y\begin{aligned} \lim_{y \rightarrow0} [1-(\cos y-1)]^{-\cot y} &= \lim_{y \rightarrow0} e^{(\cos y-1)*(-\cot y)} \\ &= \lim_{y \rightarrow0} e^{(1-\cos y)\cot y} \\ & = \lim_{y \rightarrow0} e^{\frac{(1-\cos y)\cos y}{\tan y}} \end{aligned} y→0lim[1−(cosy−1)]−coty=y→0lime(cosy−1)∗(−coty)=y→0lime(1−cosy)coty=y→0limetany(1−cosy)cosy
再考虑：1−cos⁡y∼y221-\cos y \sim \frac{y^2}{2}1−cosy∼2y2, cos⁡y→1\cos y \rightarrow 1cosy→1
lim⁡y→0e(1−cos⁡y)cos⁡ytan⁡y=lim⁡y→0ey22y=elim⁡y→0y22y=e0=1\lim_{y \rightarrow0} e^{\frac{(1-\cos y)\cos y}{\tan y}}=\lim_{y \rightarrow0} e^{\frac{y^2}{2y}}=e^{\lim_{y \rightarrow0} \frac{y^2}{2y} }=e^0=1 y→0limetany(1−cosy)cosy=y→0lime2yy2=elimy→02yy2=e0=1

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