PID控制器的离散化推导及其C语言实现
一、理论
下图是采用了PID控制器的闭环控制策略。
PID控制器的传递函数：
上式中，Y是控制器的输出，U是控制器的输入。
有时候，在Matlab仿真中已经调好了Kp和Ki、Kd参数，但是离散化后，系数和离散时间有关。因此需要重新计算系数。
方法一、用公式替代s算子
用Trapezoid(Tustin)方法离散化PID控制器。另外更多的传递函数离散化方法请浏览：https://blog.csdn.net/qq_27158179/article/details/82739641#2%E3%80%81%E7%A6%BB%E6%95%A3%E5%8C%96%E9%A2%84%E5%A4%87%E7%9F%A5%E8%AF%86
把代入上式，得到
化简过程略，得到：
故离散化公式为：
方法二、传统计算方法
PID控制器分为比例环节、积分环节、微分环节。如下：
上式也是位置式PID。
如果要转换为增量式，过程如下：
我们把PID控制器分为比例环节、积分环节、微分环节。由于控制器的输出就是三个环节的叠加，因此可以分别计算每个环节：
比例部分：
积分部分：
由于
因此，可以用I(k-1)替代冗长的u(i)，i=1,2,...,k的累加。
微分部分：
把比例、积分、微分三部分叠加，可以得到公式：
化简：
至此，只要需要了解离散时间，也就是执行本控制器算法的间隔Ts，即可把已经在上位机仿真模型中调好的Kp、Ki、Kd、通过计算转换成u(k)和u(k-1)的系数。
二、实践
上机，以下代码主要来自XMC™ Control Library。Infineon提供的library中有PI控制器，我在这个基础上增加了微分环节。
1、PID.c
/** PID.c** Created on: 2018年10月1日* Author: xxJian*/#include "PID.h"/* Initializes a PID controller with anti-windup scheme and programmable output limit saturation. */
void XMC_CONTROL_LIB_PIDFloatInit(XMC_CONTROL_LIB_PID_DATA_FLOAT_t* handle_ptr,volatile float* ref_ptr, volatile float* fdbk_ptr,float kp, float ki, float kd,float limit_min, float limit_max,volatile uint32_t* out)
{//memset((void *)handle_ptr, 0, sizeof(*handle_ptr));handle_ptr->fdbk_ptr = fdbk_ptr; /**< pointer to ADC register which is used for feedback */handle_ptr->ref_ptr = ref_ptr; /**< ADC ref */handle_ptr->kp = kp; /*coefficient filter current input*/handle_ptr->ki = ki; /*coefficient filter input one previous*/handle_ptr->kd = kd;handle_ptr->out_limit_max = limit_max; /*maximum output saturation*/handle_ptr->out_limit_min = limit_min; /*output saturation min for filter implementation*/handle_ptr->out = out;
}void XMC_CONTROL_LIB_PIDFloat(XMC_CONTROL_LIB_PID_DATA_FLOAT_t* handle_ptr)
{/** I(k) = Ki * error + I(k-1)* U(k) = Kp * error + I(k) + Kd * (error - error_1)* if(min < U(k) < max){I(k-1) = I(k);}//Anti wind-up*/handle_ptr->error = *(handle_ptr->ref_ptr) - *(handle_ptr->fdbk_ptr);handle_ptr->ik = (handle_ptr->error * handle_ptr->ki) + handle_ptr->ik_1;handle_ptr->uk = (handle_ptr->error * handle_ptr->kp) + handle_ptr->ik + handle_ptr->kd*(handle_ptr->error - handle_ptr->error_1);if (handle_ptr->uk > handle_ptr->out_limit_max){handle_ptr->uk = handle_ptr->out_limit_max; /*Disable anti wind up filter*/}else if (handle_ptr->uk < handle_ptr->out_limit_min){handle_ptr->uk = handle_ptr->out_limit_min; /*Disable anti wind up filter*/}else{handle_ptr->ik_1 = handle_ptr->ik; /*Enable anti wind up filter*/}handle_ptr->error_1 = handle_ptr->error;*(handle_ptr->out) = (uint32_t)handle_ptr->uk;
}
2、PID.h
/** PID.h** Created on: 2018年10月1日* Author: xxJian*/#ifndef PID_H_
#define PID_H_#include "main.h"
#include "stm32f4xx_hal.h"/**
* @brief PI floating point data & coefficients structure
*/
typedef struct XMC_CONTROL_LIB_PID_DATA_FLOAT
{volatile float* fdbk_ptr; /**< Pointer to feedback, generally ADC result register*/volatile float* ref_ptr; /**< Pointer to reference */float error; /*!< PID error signal (reference value - feedback value), error[k] */float error_1; /*!< PID error signal (reference value - feedback value), error[k-1] */float kp; /*!< Proportional gain Kp constant */float ki; /*!< Integral gain Ki constant*/float kd; /*!< Differential gain Ki constant*/float out_limit_max; /*!< Maximum value of the PI output */float out_limit_min; /*!< Minimum value of the PI output */float uk; /*!< PI output U[k] */float ik; /*!< Integral result I[k] */float ik_1; /*!< Integral result I[k-1] */volatile uint32_t* out; /*!< PI Output after anti-windup scheme */} XMC_CONTROL_LIB_PID_DATA_FLOAT_t;/*******************************************************************************************************************/
/*** @brief Initializes the data structure of XMC_CONTROL_LIB_PIFloat() API.* @param handle_ptr pointer to XMC_CONTROL_LIB_PI_DATA_FLOAT_t structure* @param ref_ptr Pointer to reference voltage variable* @param fdbk_ptr pointer to feedback variable* @param kp Proportional gain constant* @param ki Integral gain constant* @param ki Differential gain constant* @param limit_max maximum output limit for anti-windup scheme* @param limit_min minimum output limit for anti-windup scheme* @param out Pointer to PI output variable** \par<b>Description: </b><br>* The function can be used to initialize the data structure XMC_CONTROL_LIB_PI_DATA_FLOAT_t used by* XMC_CONTROL_LIB_PIFloat() API.** Example Usage:* @code
#include <DAVE.h>int main(void)
{uint32_t ref = 3247.1304f; //reference voltage 3.3 volts in steps of ADCuint32_t vout = 2702.5139f; //measured feedback voltage 3 volts in steps of ADCuint32_t compare_value; //CCU4/8 compare value for PWM generationfloat kp = 0.001f; //Proportional gain constantfloat ki = 0.01f; //Integral gain constantfloat kd = 0.0f; //Integral gain constantfloat limit_max = 1023.0f; //maximum output for anti-windup schemefloat limit_min = 155.0f; //minimum output for anti-windup schemeXMC_CONTROL_LIB_PID_DATA_FLOAT_t handle; //control data structureXMC_CONTROL_LIB_PIDFloatInit(&handle,&ref, &vout,kp, ki, kd,limit_min, limit_max,&compare_value);XMC_CONTROL_LIB_PIDFloat(&handle);//compare_value will holds the outputwhile(1){}return 0;
}* @endcode**/
void XMC_CONTROL_LIB_PIDFloatInit(XMC_CONTROL_LIB_PID_DATA_FLOAT_t* handle_ptr,volatile float* ref_ptr, volatile float* fdbk_ptr,float kp, float ki, float kd,float limit_min, float limit_max,volatile uint32_t* out);/*** @brief Calculates a proportional integral controller output with programmable output limits for anti-windup scheme.* @param handle_ptr XMC_CONTROL_LIB_PI_DATA_FLOAT_t structure with proper input values.** \par<b>Description: </b><br>* The function can be used to implement control loop feedback mechanism which commonly used in industrial applications.* A PI controller continuously calculates an error value as the difference between a reference and a feedback.** I[k] = Ki * error + I[k-1]* U[k] = Kp * error + I[k] + Kd* (error[k]-error[k-1])* if(min < U[k] < max){I[k-1] = I[k];}//Anti wind-up <br>** Example Usage:* @code#include <DAVE.h>int main(void)
{uint32_t ref = 3247.1304f; //reference voltage 3.3 volts in steps of ADCuint32_t vout = 2702.5139f; //measured feedback voltage 3 volts in steps of ADCuint32_t compare_value; //CCU4/8 compare value for PWM generationfloat kp = 0.001f; //Proportional gain constantfloat ki = 0.01f; //Integral gain constantfloat kd = 0.0f; //Integral gain constantfloat limit_max = 1023.0f; //maximum output for anti-windup schemefloat limit_min = 155.0f; //minimum output for anti-windup schemeXMC_CONTROL_LIB_PI_DATA_FLOAT_t handle; //control data structureXMC_CONTROL_LIB_PIDFloatInit(&handle,&ref, &vout,kp, ki, kd,limit_min, limit_max,&compare_value);XMC_CONTROL_LIB_PIDFloat(&handle);//compare_value will holds the outputwhile(1){}return 0;
}* @endcode**/
void XMC_CONTROL_LIB_PIDFloat(XMC_CONTROL_LIB_PID_DATA_FLOAT_t* handle_ptr);#endif /* PID_H_ */
在STM32开发板上和直流有刷电机连接，电机上的霍尔编码器和单片机的TIM3连接。对电机进行PID闭环控制。由于我不喜欢微分环节（某些地方不喜欢振荡，微分环节会引入振荡，即闭环控制的输出参数会围绕着参考值上下波动），因此把Kd整为0.把Kp和Ki调节到合适的参数，可以让电机稳定在一个转速。我想把电机控制到1.6转每秒。把实时的转速通过USB转UART上传到电脑，使用STLINK可以直接改变Kp和Ki的值。Kp=100，Ki=0.5，可以让系统有微微的超调量。让电机运动有较好的快速性和稳定性。
现在TI的资料，controlSuite里面的软件，都用上汇编语言了，十分不方便移植到别的单片机中。看来围绕着Arduino、树莓派等开源活动，已经动摇电子界了。工程师们的知识产权有了提高，在开源所带来的声誉，和闭源所带来的安全，有了一个更好的平衡点。
特别鸣谢：www.infineon.com/xmc。
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