数学基础task 01 函数极限与连续性

数列极限

数列极限定义与性质

无穷数列是发散的，a根本不存在是发散的。

定理：若数列收敛，则其任何子列也收敛（如果找到一个子列是发散的，那么原数列是发散的！）

唯一性：给出数列的极限存在，极限值是唯一的。

有界性：数列极限存在，则该数列有界。

保号性：数列存在极限且极限大于0则在大于某一正整数的情况下数列大于0

极限运算规则

（基于极限存在的情况下）

1.函数和差的极限等于函数极限值的和差。
2.函数乘积的极限等于函数极限值的乘积。
3.函数相除的极限等于函数极限值相除。

夹逼准则

数列{xnx_nxn},{yny_nyn},{znz_nzn}存在yny_nyn<=xnx_nxn<=znz_nzn,且{$ z_nKaTeX parse error: Expected 'EOF', got '}' at position 1: }̲与{y_nKaTeX parse error: Expected 'EOF', got '}' at position 1: }̲的极限存在且极限值为a，则数列…x_n$}的极限存在且极限值为a。

单调有界准则

数列单调递增有上界或数列单调递减有下界，则极限存在。

求和的极限：夹逼准则积分法

存在递推关系式：单调有界准则

函数极限

函数极限的定义与性质

是常数

函数极限是一个常数。

唯一性

函数极限存在且唯一。

左极限=右极限（唯一性的推广）

局部有界性

闭区间上的连续函数是有界的

开区间上的连续函数如果端点的极限是存在也是有界的

局部保号性（极限到函数）

局部保不等式性（函数到极限）

如果f(x)和g(x)函数极限都存在且在某去心邻域内有f(x)<=g(x),则f(x)的函数极限小于g(x) 的函数极限。

迫敛性（夹逼准则）

函数极限的通用计算法则

等价无穷小（背，巧妙）

洛必达法则（常用）

前提分子分母都可导

两函数之比的极限等于两函数导数之比的极限

泰勒公式（疑难杂症）

常用公式

函数极限的常用计算方法

换元
uv=evlnuu^v=e^{vlnu}uv=evlnu

函数的连续性

函数连续点的定义

函数在该点的极限就是该点的函数值

*一致连续

函数间断点的定义

第一类间断点：（存在函数左极限和右极限）

可去间断点：函数在该点的函数极限存在但不等于该点的函数值甚至函数值可以无定义。（整个极限存在）
跳跃间断点：函数的左极限和右极限存在，但该点的左极限不等于右极限。（左右极限不相等）

第二类间断点：（找不到函数极限）

无穷间断点：该点函数极限等于无穷大。（无穷）
振荡间断点：极限不存在，函数值振荡。例如：sin(1/x) （振荡摆动）

第一步：看极限第二步：看函数值

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写的有点乱

抱歉这几天有点忙，补上！！！

书籍使用的是《张宇基础30讲》+《张宇1000题》
视频学习来源：考研数学基础-萌弟AI
此文章仅仅作记录打卡使用！

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