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高斯消元法—求解线性方程组与实例分析应用

1012208022 魏晓兵

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高斯消元法——求解线性方程组与实例分析应用

高斯(Gauss)消元法是求解线性代数方程组常见方法。基本思想是：通过一系列的加减

消元运算，也就是代数中的加减消去法，将方程组化为上三角矩阵；然后，再逐一回代求解

出x向量。

一、线性方程组形式

常记为矩阵形式

其中

二、高斯消元法

现举例说明如下：

1012208022 魏晓兵

(一)消元过程

经消元后，得到如下三角代数方程组：

(二)回代过程

(3)

由(3) 得 x=1,

(2)

将x 代入(2) 得x=-2,

3 2

(1)

将x 、x 代入(1) 得x=1

2 3 2

所以，本题解为[x]=[1,2,-1]T

(三)、用矩阵演示进行消元过程

第一步：先将方程写成增广矩阵的形式

第二步：然后对矩阵进行初等行变换

初等行变换包含如下操作

(1) 将某行同乘或同除一个非零实数

(2) 将某行加入到另一行

(3) 将任意两行互换

第三步：将增广矩阵变换成上三角矩阵，即主对角线全为1，左下三角矩阵全为0，形

式如下：

1012208022 魏晓兵

示例：

(四)高斯消元的公式

综合以上讨论，不难看出，高斯消元法解方程组的公式为

1．消元

(1) 令

aij(1) = aij , (i,j=1,2,3,…,n)

b (1) =b , (i=1,2,3,…,n)

i i

(2) 对k=1 到n-1，若akk(k)≠0，进行

lik = aik (k) / akk(k) , (i=k+1,k+2,…,n)

aij(k+1) = aij(k) - lik * akj(k), (i,j= k+1,k+2,…,n)

bi(k+1) = bi(k) - lik * bk(k), (i= k+1,k+2,…,n)

2．回代

若ann(n) ≠ 0

xn = bn(n) / ann(n)

x = (b (i) – sgm(a (i) * x )/- a (i) ,(i = n-1,n-2,…,1),( j = i+1,i+2,…,n )

i i ij j ii

(五)高斯消元法的条件

消元过程要求aii(i) ≠0 (i=1,2,…,n),回代过程则进一步要求ann(n) ≠0,但就方程组Ax=b

讲，aii(i) 是否等于0 时无法事先看出来的。

注意A 的顺序主子式D (i=1,2,…,n),在消元的过程中不变，这是因为消元所作的变

换是“将某行的若干倍加到另一行”。若高斯消元法的过程进行了k-1 步(aii(i) ≠0,i

这时计算的A(k)顺序主子式:

D = a (1)

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